Enunciado

Discuta o que dá errado se substituirmos os troncos de cones circulares retos por cilindros circulares retos na dedução da Definição 6.5.2.

Passo 1

Se a gente aproximar por cilindros, vamos dizer que o k-ésimo cilindro tem raio f ( x k * ) , onde x k * é um valor entre x k - 1 e x k , e altura Δ x k .

A área lateral dele vai ser:

s k = 2 π f x k * Δ x k

Fazendo aquele procedimento de usar a Soma de Riemann para somar a área de todos os cilindros usando uma integral, chegamos nessa integral:

S c = ∫ a b 2 π f x d x

Mas lembra da integral oficial:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

O problema que dá quando a gente usa cilindros é que esse termo em raiz ( 1 + f ' x 2 ) fica como se fosse 1 , o que não é verdade quando f ' x > 0 . Quando esse módulo é maior que 0 , a área da superfície pela regrinha oficial fica maior do que a calculada a partir de cilindros.

Ou seja, usar cilindros subestima o valor da área que a gente quer calcular (dar um valor menor do que o real).

Resposta

Discussão nos passos

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x : x = 1 3 y 2 + 2 3 / 2 ,1 ≤ y ≤ 2
Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x : x = 1 + 2 y 2 ,1 ≤ y ≤ 2
Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. x = y ,1 ≤ y ≤ 4 ,e i x od o sy
Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. y = 4 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 , eixo dos x
Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. y = 16 - x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 3 , eixo dos x