∫ d x x 4 x 2 + x - 3  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

4 x 2 + x - 3 =   4 x 2 + x + 1 16 - 49 16 = 2 x + 1 2 2 - 49 16    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Seja

2 x + 1 4 = 7 4 s e c θ

Derivando com relação a x a equação acima

d 2 x + 1 4 d x = d ( 7 4 s e c θ ) d x ⟹ 7 4 s ec θ tg θ ⁡ d θ d x = 2 ⟹ 7 8 secθtgθ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x x 4 x 2 + x - 3   =   ∫ d x x 2 x + 1 4 2 - 49 16       =   ∫ 7 8 secθtgθ ⁡ d θ 7 8 s e c θ - 1 8 7 4 s e c θ 2 - 49 16      

∫ 7 8 secθtgθ ⁡ d θ 7 8 s e c θ - 1 8 7 4 s e c θ 2 - 49 16       = ∫ secθ ⁡ d θ 7 4 s e c θ - 1 4 = ∫ 4 secθ ⁡ d θ 7 s e c θ - 1

∫ 4 1 c o s θ 7 - c o s θ c o s θ d θ = ∫ 4 7 - c o s θ d θ = ∫ 4 7 - 1 - t g 2 θ 2 1 + t g 2 θ 2 d θ  

=   ∫ 4 1 + t g 2 θ 2 7 1 + t g 2 θ 2 - 1 + t g 2 θ 2 d θ =   ∫ 4 + 4 t g 2 θ 2 6 + 8 t g 2 θ 2 d θ

Seja

t g θ 2 = t

Derivando a equação acima

d t d θ = d t g θ 2 d θ   ⟹ 1 2 se c 2 θ 2   ⁡ d θ = d t ⟹ 1 2 1 + t 2 ⁡ d θ = d t

Substituindo na integral

∫ 4 + 4 t 2 ( 6 + 8 t 2 ) 2 d t 1 + t 2 = 8 ∫ d t 6 + 8 t 2 = 4 3 ∫ d t 1 + 4 3 t 2 = 4 3 6 a r c t g ( 2 t 3 )      

Passo 3

Retornando a variável inicial

2 3 3 a r c t g ( 2 t 3 ) )   =   2 3 3 a r c t g ( 2 t g θ 2 3 ) =       2 3 3 a r c t g 4 x - 3 x + 1 3  

Resposta

∫ d x x 4 x 2 + x - 3   = 2 3 3 a r c t g 4 x - 3 x + 1 3 + C

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