∫ d x x 2 + 3 x + 2  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x 2 + 3 x + 2 =   x 2 + 3 x + 9 4 - 1 4 = x + 3 2 2 - 1 4    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Seja

x + 3 2 = 1 2 s e c θ

Derivando com relação a x a equação acima

d x + 3 2 d x = d ( 1 2 s e c θ ) d x ⟹ 1 2 sec θ tg θ ⁡ d θ d x = 1 ⟹ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x x 2 + 3 x + 2   =   ∫ d x x + 3 2 2 - 1 4       = ∫ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ 1 2 s e c θ 2 - 1 4       = ∫ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ 1 4 ( s e c 2 θ - 1 )       =

= ∫ 1 2 secθtgθ ⁡ d θ 1 4 t g 2 θ     = ∫ s e c θ d θ = ln ⁡ s e c   θ + t g   θ  

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln ⁡ s e c   θ + t g   θ   = ⁡ ln ⁡ 2 x + 3 + 2 x 2 + 3 x + 2  

Resposta

∫ d x x 2 + 3 x + 2   = ⁡ ln ⁡ 2 x + 3 + 2 x 2 + 3 x + 2   + C

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