Enunciado

Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule

∑ k = 1 4 f x k *   ∇ x

Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo e (c) a extremidade direita de cada subintervalo. Ilustre cada parte com um gráfico de f que inclui os retângulos cujas áreas estão representadas na soma.

f x = 2 x - x 2 ; [ - 1,3 ]

Passo 1

  1. Vamos começar pela extremidade da esquerda, como tá pedindo. A figura com os retângulos é assim:
  2. ∇ x = 3 + 1 4 = 4 4 = 1

    x k * = - 1 + k - 1 =   - 1 + k - 1 = k - 2

    Aplicando na fórmula...

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 ( 2 k - 2 - k - 2 2

    Resolvendo o somatório encontramos:

    A = - 2

    (como o gráfico tá abaixo do eixo, era de se esperar que desse negativo...)

    Passo 2

  3. Agora pelo ponto médio. A figura:
  4. Algebricamente agora, a gente calcula:

    ∇ x = 3 + 1 4 = 4 4 = 1

    x k * = - 1 + k - 1 2 =   - 1 + k - 1 2 = k - 3 2

    Aplicando na fórmula...

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 ( 2 k - 3 2 - k - 3 2 2

    Resolvendo esse somatório, a gente acha:

    A = - 1

    Passo 3

  5. Por último, a gente faz pela extremidade direita.

E agora a gente calcula...

∇ x = 3 + 1 4 = 4 4 = 1

x k * = - 1 + k

Aplicando na fórmula...

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 ( 2 k - 1 - ( k - 1 ) 2

Resolvendo o somatório, a gente encontra:

A = - 2

Resposta

  1. - 2
  2. - 1
  3. - 2
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