Enunciado

Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule

∑ k = 1 4 f x k *   ∇ x

Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo e (c) a extremidade direita de cada subintervalo. Ilustre cada parte com um gráfico de f que inclui os retângulos cujas áreas estão representadas na soma.

f x = 1 x ; [ 1,9 ]

Passo 1

  1. Vamos começar pela extremidade da esquerda, como tá pedindo. A figura com os retângulos é assim:
  2. ∇ x = 9 - 1 n = 8 4 = 2

    x k * = 1 + 2 k - 1 = 1 + 2 k - 2 = 2 k - 1

    Aplicando na fórmula...

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 1 2 k - 1 2

    A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 2 2 k - 1  

    Resolvendo o somatório encontramos:

    A ≅ 3,35

    Passo 2

  3. Agora pelo ponto médio. A figura:
  4. Algebricamente agora, a gente calcula:

    ∇ x = 9 - 1 n = 8 4 = 2

    x k * = 1 + 2 k - 1 2 = 1 + 2 k - 1 = 2 k

    Aplicando na fórmula:

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 1 2 k 2

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 1 k

    Resolvendo esse somatório, a gente acha:

    A ≅ 2,0833

    Passo 3

  5. Por último, a gente faz pela extremidade direita.

E agora a gente calcula...

∇ x = 9 - 1 n = 8 4 = 2

x k * = 1 + 2 k

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 1 1 + 2 k ( 2 )

E resolvendo o somatório encontramos:

A = 1,5746

Resposta

  1. 3,35
  2. 2,0833
  3. 1,5746
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