Enunciado

Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule

∑ k = 1 4 f x k *   ∇ x

Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo e (c) a extremidade direita de cada subintervalo. Ilustre cada parte com um gráfico de f que inclui os retângulos cujas áreas estão representadas na soma.

f x = 3 x + 1 ; [ 2,6 ]

Passo 1

  1. Vamos começar pela extremidade da esquerda, como tá pedindo. A figura com os retângulos é assim:
  2. Bora calcular algebricamente agora:

    ∇ x = 6 - 2 n = 4 n

    x k * = 2 + 4 k - 1 n = 2 + k - 1 = k + 1

    Aplicando na fórmula...

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 3 k + 1 + 1 4 4

    A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 3 k + 4  

    Resolvendo o somatório encontramos:

    A = 46

    Passo 2

  3. Agora pelo ponto médio. A figura:
  4. Algebricamente agora, a gente calcula:

    ∇ x = 6 - 2 n = 4 n = 4 4 = 1

    x k * = 2 + 4 k - 1 2 4 = 2 + k - 1 2 = k + 3 2

    Aplicando na fórmula:

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 3 k + 3 2 + 1 ( 1 )

    A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 3 k + 9 2 + 1  

    Resolvendo esse somatório, a gente acha:

    A = 52

    Passo 3

  5. Por último, a gente faz pela extremidade direita.

E agora a gente calcula...

∇ x = 6 - 2 n = 4 n = 4 4 = 1

x k * = 2 + 4 k 4 = 2 + k

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 3 2 + k + 1 ( 1 )

A = =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 3 k + 7

Resolvendo o somatório...

A = 58

Resposta

  1. 46
  2. 52
  3. 58
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