Enunciado

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Dois produtos A e B , são produzidos por determinada fábrica. Se C for o custo total de produção numa jornada de 8 horas por dia, então C = 3 x 2 + 42 y , onde x e y são o número de máquinas que são usadas para produzir A e B , respectivamente. Se durante a jornada de 8 horas tivermos 15 máquinas em funcionamento, determine quantas devem produzir A e quantas devem produzir B , para que o custo total seja mínimo.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Já temos a equação que queremos minimizar: C x ,   y . Mas essa equação é de duas variáveis! Queremos uma que tenha apenas uma variável. Vamos usar a restrição que a questão nos deu para isso. Ele diz que o total de máquinas em funcionamento em uma jornada de trabalho é 15 , como x e y são, respectivamente, a quantidade de máquinas que produzem A e B , ficamos com o total de máquinas:

x + y = 15

Isolando y :

y = 15 - x

Substituindo em C :

C x = 3 x 2 + 42 15 - x

C x = 3 x 2 - 42 x + 630

Agora que temos a função custo em uma variável, vamos derivar e igualar a 0 .

Passo 3

Derivando C :

d C d x = 6 x - 42

Igualando a 0 :

6 x - 42 = 0

6 x = 42

x = 7

Então serão 7   máquinas produzindo A . O restante das máquinas produzirá B , ou seja:

y = 15 - 7

y = 8

Passo 4

Só pra ter certeza, vamos ver os valores nos extremos do intervalo de análise. Os extremos do intervalo ocorrerão nos dois seguintes casos: todas as máquinas fabricam A ou todas as máquinas fabricam B . Ou seja: C ( 15 ,   0 ) ou C 0 ,   15

C 15 ,   0 =   3 ∙ 15 2 + 42 ∙ 0 = 675

C 0 ,   15 = 3 ∙ 0 2 + 42 ∙ 15 = 630

Agora para o ponto que encontramos: C 7 ,   8

C 7 ,   8 = 3 ∙ 7 2 + 42 ∙ 8 = 483

Então como já esperávamos, o ponto que encontramos é o mínimo absoluto da função nesse intervalo!

Resposta

7 máquinas produzirão A e 8 máquinas produzirão B para que se tenha o menor custo.

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