Enunciado

Dê o domínio e esboce o gráfico.

q ) y = | x | + 1 x

Passo 1

O domínio dessa função é bem tranquilo. Lembrando que não podemos ter divisão por zero, então:

D = x ∈ R x ≠ 0 }

Tranquilo?

Passo 2

Agora o esboço do gráfico. Ele vai ter cara de hipérbole, porém com aquele | x | o desenho fica um pouco diferente.

As raízes dessa função serão:

y = 0

| x | + 1 x = 0

x 2 = - 1 x

x . x 2 = - 1 ∴ x = - 1

Encontramos apenas um valor de x que soluciona essa quação: x = - 1 . E ela não corta o eixo y , pois x ≠ 0 .

Agora aos limites:

  • Quando x → ± ∞ o termo 1 / x tende a zero, então o comportamendo dominante é do | x | . Sendo assim, quando x → ± ∞ o gráfico tende a ± ∞ .
  • Quando x → 0 , tanto pela direita, quanto pela esquerda, o termo dominante agora é 1 / x . E o gráfico, em torno da origem, toma o comportamento da hipérbole que tende a + ∞ , quando x se aproxima de zero pela direita e tende a - ∞ , quando x se aproxima pela esquerda.

Show! Agora vamos juntar todas essas informações e construir o esboço! Bora lá?

Passo 3

Juntando todas essas informações e com a ajuda de um programa de geração de gráficos temos o esboço:

Os esboços de | x | e de 1 / x estão pontilhados. A linha cheia é o resultado da soma dessas duas funções. Quando x → ± ∞ , esse esboço tem a cara da função modular. Agora quando olhamos em torno da origem, ela se parece mais com a hipérbole.

Ok?

Vamos pra próxima?

Resposta

D = x ∈ R x ≠ 0 }

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