Enunciado

Dê o domínio e esboce o gráfico.

q ) y = | x | + (1)/(x)

Passo 1

O domínio dessa função é bem tranquilo. Lembrando que não podemos ter divisão por zero, então:

D = {x in R| x != 0 }

Tranquilo?

Passo 2

Agora o esboço do gráfico. Ele vai ter cara de hipérbole, porém com aquele | x | o desenho fica um pouco diferente.

As raízes dessa função serão:

y = 0

| x | + (1)/(x) = 0

sqrt(x^2) = - (1)/(x)

x . sqrt(x^2) = - 1 :. x = - 1

Encontramos apenas um valor de x que soluciona essa quação: x = - 1 . E ela não corta o eixo y , pois x != 0 .

Agora aos limites:

  • Quando x -> +- oo o termo 1 // x tende a zero, então o comportamendo dominante é do | x | . Sendo assim, quando x -> +- oo o gráfico tende a +- oo .
  • Quando x -> 0 , tanto pela direita, quanto pela esquerda, o termo dominante agora é 1 // x . E o gráfico, em torno da origem, toma o comportamento da hipérbole que tende a + oo , quando x se aproxima de zero pela direita e tende a - oo , quando x se aproxima pela esquerda.

Show! Agora vamos juntar todas essas informações e construir o esboço! Bora lá?

Passo 3

Juntando todas essas informações e com a ajuda de um programa de geração de gráficos temos o esboço:

Os esboços de | x | e de 1 // x estão pontilhados. A linha cheia é o resultado da soma dessas duas funções. Quando x -> +- oo , esse esboço tem a cara da função modular. Agora quando olhamos em torno da origem, ela se parece mais com a hipérbole.

Ok?

Vamos pra próxima?

Resposta

D = {x in R| x != 0 }

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