Enunciado

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Se o domínio de f for o conjunto de todos os números reais e f ' x = c f x para todo x onde c é uma constante, prove que existe uma constante k para a qual f x = k e c x para todo x .

Sugestão: considere a função g para o qual g x = f x e - c x e encontre g ' x

Passo 1

Vamos usar a sugestão que ele deu:

g x = f x e - c x

Agora, vamos achar g ' x . Para isso vamos usar a regra do produto:

g ' x = f x ' e - c x + f x e - c x '

g ' x = f ' x e - c x + f x - c e - c x

g ' x = f ' x e - c x - c f x e - c x

No enunciado ele disse que:

f ' x = c f x

Logo:

g ' x = f ' x e - c x - f ' x e - c x = 0

g ' x = 0

Mas se a derivada é 0 , então g ' x éuma constante

Passo 2

Vamos fazer

g x = k

Então:

f x e - c x = k

Como

e - c x   = 1 e c x

Teremos:

f x 1 e c x = k

f x e c x = k

f x = k e c x

Logo, temos que a função f x é da forma que ele falou

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