1. Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de (cotgx - cotg(3/4)pi) / (x - (3/4)pi) quando x é 29 / 40 \* pi , 59 / 80 \* pi , 299 / 400 \* pi , 599 / 800 \* pi , 2999 / 4000 \* pi e x é 31 / 40 \* pi , 61 / 80 pi , (301 / 400) \* pi , 601 / 800 \* pi , 3001 / 4000 \* pi . A que quociente parece tender quando x se aproxima de 3 / 4 \* pi ?
  2. Ache lim x → 2 3 π ⁡   c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π , interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

A letra a) nos pede para calcular o valor da função dada no enunciado para cada um dos valores de x, depois devemos aproximar o resultado em até quatro casas decimais, ou seja, faremos um arredondamento dos resultados, e depois colocaremos em uma tabela:

f x =   c o t g x - c o t g ⁡ 3 4 π x - 3 4 π

Passo 2

Com o primeiro valor que deram para a gente x = 29 40 π , vamos substituir na função f(x):

f 29 40 π =   c o t g 29 40 π - c o t g ⁡ 3 4 π 29 40 π - 3 4 π

Agora já podemos calcular o valor das cossecantes e das frações no denominador:

f 29 40 π = - 0,854080685 + 1 2,277654674 - 2,35619449

Resolvendo as subtrações e a divisão:

f 29 40 π = - 1,857902303

Passo 3

Agora podemos arredondar o valor da função f para quatro casas decimais:

f 29 40 π ≅ - 1,8579

Passo 4

Podemos repetir os mesmos passos para cada valor de x dado no enunciado, e com eles vamos montar a tabela abaixo:

Os cinco primeiros valores de x se aproximam de 3 4 π e os valores da função se aproximam para - 2 por valores menores, enquanto os cinco últimos se aproximam por valores maiores, na medida que x se aproxima de 3 4 π .

Passo 5

Já na letra b) a questão pede para calcularmos o limite dado, mas através de uma interpretação de derivada.

Com isso, pegamos a definição de derivada:

lim ∆ x → 0 ⁡ f x +   ∆ x - f ( x ) ∆ x

E comparamos com o limite que foi dado:

lim x → 2 3 π ⁡   c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π

Podemos perceber que o limite é a derivada da função cotangente no ponto 3 4 π , então fazendo a derivada:

d ( c o t g x ) d x = - c o s e c 2 x

E substituindo x = 3 4 π na nossa derivada:

- c o s e c 2 3 4 π ≅ 2

Resposta

  1. 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados