Enunciado

  1. Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de   c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π quando x é 3 5 π , 19 30 π , 33 50 π , 199 300 π , 333 500 π e x é 11 15 π , 7 10 π , 101 150 π , 67 100 π , 1001 1500 π . A que quociente parece tender quando x se aproxima de π 6 ?
  2. Ache lim x → 2 3 π ⁡   c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π , interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

A letra a) nos pede para calcular o valor da função dada no enunciado para cada um dos valores de x, depois devemos aproximar o resultado em até quatro casas decimais, ou seja, faremos um arredondamento dos resultados, e depois colocaremos em uma tabela:

f x =   c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π

Passo 2

Com o primeiro valor que deram para a gente x = 3 5 π , vamos substituir na função f(x):

f 3 5 π =   c o s e c 3 5 π - c o s s e c ⁡ 2 3 π 3 5 π - 2 3 π

Agora já podemos calcular o valor das cossecantes e das frações no denominador:

f 3 5 π = 1,051462224 - 1,154700538 1,884955592 - 2,094395102

Resolvendo as subtrações e a divisão:

f 3 5 π = 0,49292664

Passo 3

Agora podemos arredondar o valor da função f para quatro casas decimais:

f 3 5 π ≅ 0,4929

Passo 4

Podemos repetir os mesmos passos para cada valor de x dado no enunciado, e com eles vamos montar a tabela abaixo:

Os cinco primeiros valores de x se aproximam de 2 3 π e os valores da função se aproximam para 2 3 por valores menores, enquanto os cinco últimos se aproximam por valores maiores.

Passo 5

Já na letra b) a questão pede para calcularmos o limite dado, mas através de uma interpretação de derivada.

Com isso, pegamos a definição de derivada:

lim ∆ x → 0 ⁡ f x +   ∆ x - f ( x ) ∆ x

E comparamos com o limite que foi dado:

lim x → 2 3 π ⁡   c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π

Podemos perceber que o limite se assemelha muito com a derivada da função cosecx no ponto 2 3 π , então fazendo a derivada:

d ( c o s e c x ) d x = - c o s e c x c o t g x

E substituindo x = 2 3 π na nossa derivada:

- c o s e c 2 3 π c o t g 2 3 π ≅ 2 3

Resposta

  1. 2 3
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