Enunciado

Drenagem de um tanque

Água escoa do tanque cônico mostrado na figura a seguir a uma vazão de 5 p é s 3 / m i n .

a. Qual é a relação entre as variáveis h e r na figura?

b. A que taxa o nível da água diminui quando h = 6 pés?

Passo 1

Para obter a relação entre as variáveis h e r da figura podemos perceber no desenho do enunciado que existem dois cones de tamanhos diferentes. O valor do raio da base do menor cone é r e o valor do raio da base do maior cone é 4 ' .

Passo 2

Fazendo um desenho bidimensional da metade do tanque (como mostrado a seguir) é possível observar dois triângulos retângulos.

Passo 3

Com o desenho feito, podemos obter a relação desejada entre as variáveis h e r através do método de semelhança de triângulos. Portanto:

r h = 4 10

Passo 4

A vazão dada pelo enunciado representa a taxa de volume que sai do tanque por unidade de tempo e, assim, d V d t = - 5   p é s 3 / m i n . Além disso, h é a profundidade da água no tanque e r é o raio da superfície da água ambos no instante t. Considerando que V, h e r são funções deriváveis de t e que as dimensões do tanque são constantes, a taxa com a qual o nível da água diminui é d h / d t . Devemos lembrar também que a água no tanque forma um cone com volume V = 1 3 π r 2 h .

Passo 5

Nesse caso, o enunciado não nos dá informações sobre as variáveis r e d r / d t , logo é necessário substituir r . Para tanto, podemos utilizar a relação obtida na parte a do exercício, tal que

r = h 2,5

Dessa forma, podemos substituir r na equação de V:

V = 1 3 π h 2,5 2 h = π 18,75 h 3

Derivando a equação:

d V d t = π 18,75   3 h 2 d h d t = π 6,25 h 2 d h d t  

Passo 6

Logo, utilizando os valores dados pelo enunciado, conseguimos encontrar o que se pede:

- 5 = π 6,25 6 2 d h d t  

d h d t = - 5 5,76 π ≅ - 0,276

Resposta

a. h = 10 r 4 = 2,5 r

b. O nível da água está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 0,276   p é s / m i n .

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