Enunciado

28. Uma corda está amarrada em um barco no nível da água e uma mulher em um cais puxa a corda a uma taxa de 15 m / m i n . Se as mãos da mulher estão a 5 m acima do nível da água, com que velocidade o bote estará se aproximando do cais, quando o comprimento da corda já puxada for de 6 m?

Passo 1

Um bom primeiro passo sempre é desenhar o problema pra entender! Ou então pegar uma imagem na internet hahaha

Pô, essa corda bem esticada aí, a gente sabendo a altura que as mãos da mulher estão em relação ao nível da água... porque não montar um triângulo retângulo? Vamos fazer isso então e aproveitar pra nomear variáveis:

Show, variáveis noemadas, partimos pro próximo passo que é relacionar elas.

Passo 2

Beleza galera, olha só, do nosso triângulo retângulo, se fizermos Pitágoras, achamos:

z 2 = x 2 + 5 2

z 2 = x 2 + 25

Variáveis relacionadas! Podemos partir agora pras taxas. Pra isso, basta derivar em relação ao tempo! E usando a regra da cadeia, derivando implicitamente, temos:

d z 2 d t = d x 2 + 25 d t

2 ∙ z ∙ d z d t = d x 2 d t + d 25 d t

2 ∙ z ∙ d z d t = 2 ∙ x ∙ d x d t

z ∙ d z d t = x ∙ d x d t

z ∙ d z d t = z 2 - 25 ∙ d x d t

d x d t = z ∙ d z d t z 2 - 25

Show, achamos uma fórmula pra velocidade de aproximação do bote d x d t , o que é exatamente o que a questão quer saber. Perceba que ela depende somente da velocidade que a corda é puxada d z d t e do comprimento da corda z . Para um instante qualquer t = t o , temos:

d x d t t = t 0 = z t o ∙ d z d t t = t 0 z t o 2 - 25

Passo 3

Ultimo passo galera! Mesmo a gente não sabendo em qual instante t o tudo isso acontece, do enunciado, sabemos que a mulher puxa a corda a uma taxa de 15 m / m i n e que a questão quer saber com que velocidade o bote estará se aproximando do cais, quando o comprimento da corda já puxada for de 6   m . Isso nos diz que:

d z d t t = t 0 = - 15

z t o = 6

Note que a taxa é negativa porque, se estabelecermos como origem do sistema os pés da mulher, percebemos que, ao puxar a corta, tanto o comprimento dela quanto a distância do barco pro cais diminui. Substituindo:

d x d t t = t 0 = z t o ∙ d z d t t = t 0 z t o 2 - 25 = 6 ∙ - 15 6 2 - 25 = - 90 36 - 25 = - 90 11

d x d t t = t 0 = - 90 11   m / m i n

Perceba que a taxa negativa faz sentido, já que a distância do barco pro cais ta diminuindo.

Resposta

d x d t t = t 0 = - 90 11   m / m i n

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