Enunciado

Duas partículas A e B estão em movimento no plano x y . Suas coordenadas em cada instante do tempo t   t ≥ 0 são dadas por x A = t ,   y A = 2 t ,   x B = 1 - t   e   y B = t . Encontre a distância mínima entre A e B .

Passo 1

Então galera, aqui o enunciado nos cede coordenadas x e y que nos permite gerar uma equação geral para a distância das partículas. Para o eixo x temos o seguinte:

x = x B - x A

x = 1 - t - t

E para o eixo y temos o seguinte:

y = y B - y A

y = t - 2 t

Utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:

D = 1 - 2 t 2 + - t 2

D = 5 t 2 - 4 t + 1

Show, encontramos uma expressão para a distância das partículas.

Passo 2

Como queremos a distância mínima, então estamos falando de ponto de mínimo, não é mesmo? Sendo assim, utilizando os conceitos de cálculo teremos:

d D d t = 1 2 5 t 2 - 4 t + 1 - 1 2 . 10 t - 4

d D d t = 1 2 5 t 2 - 4 t + 1 . 10 t - 4

Igualando nossa derivada a zero:

1 2 5 t 2 - 4 t + 1 . 10 t - 4 = 0

E a única forma disso dar zero é se:

10 t - 4 = 0

t = 2 5

Ok, esse é um possível ponto de mínimo. Como fazemos para confirmar se é um ponto de mínimo mesmo? Pela derivada segunda temos:

d 2 D d t 2 = 12 t 2 - 6

Para t = 2 5 temos que a derivada será maior que zero, o que indica concavidade para cima e, portanto, ponto de mínimo no t que encontramos!

Passo 3

Como achamos o t para que a distância seja mínima, então vamos descobrir qual é essa bendita distância, se liga:

D 2 5 = 5 2 5 2 - 4 . 2 5 + 1

D 2 5 = 4 5 - 8 5 + 1 = 1 5

∴ D m í n i m a = 5 5

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

D m í n i m a = 5 5

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