Enunciado

Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.

a     f x = x 1 3 x - 7 2

b     f x = 2 s e n x - cos ⁡ 2 x ,                             0 ≤ x ≤ 2 π

c   f x = 3 x - x - 1 3 / 2

Passo 1

(a) Considerando a função:

f x = x 1 3 x - 7 2

Para aplicar o teste da primeira derivada, devemos derivar a função e encontrar os pontos críticos, para posteriormente fazer a classificação.

Vamos derivar a função aplicando a Regra do Produto:

f ' x = 1 3 x - 2 3 x - 7 2 + 2 x - 7 . x 1 / 3 = 7 x 2 - 56 x + 49 3 x 2 / 3

A primeira raiz do problema é na indeterminação quando x = 0 , tornando a função não definida no ponto.

As próximas raízes são quando zeram o numerador, onde:

7 x 2 - 56 x + 49 = 0    

Dividindo ambos os lados da equação por 7:

x 2 - 8 x + 7 = 0    

Resolvendo a equação de segundo grau:

x = - b ±   b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 8 ) ±   ( - 8 ) 2 - 4.1 . ( 7 ) 2.1

x ' = 7

x ' ' = 1

Agora, devemos analisar o sinal das raízes:

x = 0 x = 1 x = 7

Vamos analisar o sinal entre cada sub intervalo encontrado :

Relembrando os conceitos aprendidos no exercício 23 do capítulo de Revisão:

Dessa forma temos como máximo Relativo x = 1 . Já o mínimo relativo é dado por x = 7 .

Passo 2

(b ) Considerando a função:

f x = 2 s e n x - cos ⁡ 2 x

Para aplicar o teste da primeira derivada, devemos derivar a função e encontrar os pontos críticos, para posteriormente fazer a classificação.

Vamos derivar a função, lembrando que a derivada da soma é soma das derivadas:

f '   x = 2 s e n 2 x - c o s ⁡ ( 2 x )

Com a ajuda de uma ferramenta gráfica para analisar os pontos em que a função corta o eixo das x no intervalo dado:

Esses valores são:

x = π 2

x = 7 π 6

x = 3 π 2

x = 11 π 6

Esses pontos são as raízes da nossa função.

Agora, devemos analisar o sinal das raízes:

Vamos analisar o sinal entre cada sub intervalo encontrado :

Relembrando os conceitos aprendidos no exercício 23 do capítulo de Revisão:

Dessa forma temos como máximo Relativo: x = π 2 , x = 3 π 2

Já o mínimo relativo é dado por x = 7 π 6 e x = 11 π 6 .

Passo 3

(c ) Considerando a função:

f x = 3 x - x - 1 3 / 2

Para aplicar o teste da primeira derivada, devemos derivar a função e encontrar os pontos críticos, para posteriormente fazer a classificação.

Vamos derivar a função:

f '   ( x ) = 3 - 3 2 x - 1 3 2 - 2 = 3 - 3 2 x - 1 1 2

Devemos encontrar a raíz da equação onde :

f '   x = 3 - 3 2 x - 1 1 2 = 0

3 2 x - 1 1 2 = 3

x = 5

Agora, devemos analisar o sinal da raiz:

Vamos analisar o sinal entre cada sub intervalo encontrado :

Relembrando os conceitos aprendidos no exercício 23 do capítulo de Revisão:

Dessa forma temos como máximo Relativo x = 5 .

Resposta

(a) Máximo Relativo x = 1 . Mínimo Relativo x = 7 .

(b) Máximo Relativo: x = π 2 , x = 3 π 2 . Mínimo relativo é dado por x = 7 π 6 e x = 11 π 6 .

(c) Máximo Relativo x = 5 .

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