Enunciado

Suponha que h e g tenham máximo relativo em x 0 . Prove que vale ou que não vale:

  1. f + g tem um máximo relativo em x 0 .
  2. h - g tem um máximo relativo em x 0 .

Passo 1

Nós sabemos que f e g possuem um relativo máximo em x 0 , assim temos que:

f ' x 0 = 0 e g ' x 0 = 0

Usando o teste da derivada segunda sabemos que f ' ' x 0 < 0 e g ' ' x 0 < 0 .

  1. Agora vamos considerar a função h x = f + g x , e vamos derivar ela:
  2. h ' x = f + g ' x = f ' x + g ' x

    Como h ' x 0 = f ' x 0 + g ' x 0 = 0 temos que:

    h ' ' x 0 = f ' ' x 0 + g ' ' x 0 < 0

    Assim nós devemos ter um máximo em x = x 0 .

    Passo 2

  3. Aqui vamos considerar a função h x = f - g x , e vamos derivar ela:

h ' x = f - g ' x = f ' x - g ' x

Como h ' x 0 = f ' x 0 + g ' x 0 = 0 temos que:

h ' ' x 0 = f ' ' x 0 - g ' ' x 0

Entretanto aqui não podemos determinar se h ' ' x 0 é positivo ou negativo, não podemos também determinar se existe um máximo em algum ponto,

Resposta

  1. f + g tem um máximo relativo em x 0
  2. h - g não se pode afirmar se tem um máximo relativo em x 0
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