Efetua a antidiferenciação.

∫ 3 x   4 - x 2   d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Para resolver esse problema, vamos fazer a substituição t = 4 - x 2 . Assim,

d t = - 2 x   d x ⇒ x   d x = - d t 2

Note que x   d x é exatamente o que temos fora da raiz. Portanto,

I = ∫ 3 x   4 - x 2   d x = - 3 2 ∫ t   d t

Passo 2

Agora é só fazer a primitiva usando a regra do tombo ao contrário:

I = - 3 2 ∫ t 1 2   d t = - 3 2 ⋅ 2 3 t 3 2 + C = - t t + C

E podemos rescrever t t = t t 1 / 2 = t 3 / 2

Voltando para a variável x , temos que t = 4 - x 2 :

I = - 4 - x 2 3 / 2 + C

Resposta

- 4 - x 2 3 / 2 + C

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