Efetue a antidiferenciação:

∫ 1 2 t c o s 4 t 2 d t

Passo 1

Queremos calcular a integral:

∫ 1 2 t c o s 4 t 2 d t

Vou chamar essa belezura de I daqui pra frente. Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora. Então vamos tirar esse 1 2 daí de dentro:

I = ∫ 1 2 t c o s 4 t 2 d t = 1 2 ∫ t c o s 4 t 2 d t

Passo 2

A próxima coisa é tentar uma substituição esperta. Vamos tentar alguma coisa com esse 4 t 2 , porque isso aí dentro do cosseno fica chato!

u = 4 t 2

Derivando,

d u = 8 t d t

d t = d u 8 t

Vamos substituir isso!

I = 1 2 ∫ t c o s ( u ) d u 8 t

Aí corta esse t e bota o 8 pra fora:

I = 1 16 ∫ c o s u d u

Passo 3

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente!

I = 1 16 s e n u + C

Voltando pra variável original:

I = 1 16 s e n 4 t 2 + C

Fechou!

Resposta

I = 1 16 s e n 4 t 2 + C

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