Enunciado

A eletricidade é fornecida para as casas na forma de corrente alternada, significando que a voltagem tem uma forma senoidal, descrita por uma equação da forma

V   =   V p   s e n 2   π   f t

(ver figura abaixo). Nessa equação, V p é o pico de voltagem ou amplitude da corrente, f é a frequência e 1 / f é o período. As voltagens V e V p são medidas em volts ( V ), o tempo é medido em segundos ( s ) e a frequência é medida em hertz ( H z ) ( 1   H z   =   1   ciclo por segundo; um ciclo é o termo elétrico para um período.) Os voltímetros de corrente alternada medem o que é chamado rms ou raiz média quadrada do valor de V . Por definição, isso é a raiz quadrada do valor médio de V 2 sobre um período.

(a) Mostre que

V r m s = V p 2

[Sugestão: Calcule a média sobre o ciclo de t   =   0 a t   =   1 / f , e use a identidade s e n 2 θ   = 1 / 2   ( 1   -   c o s   2 θ ) para ajudar a calcular a integral.]

(b) Nos Estados Unidos, o fornecimento de energia elétrica é feito com uma voltagem rms de 120   V , a uma frequência de 60   H z . Qual é o pico de voltagem desse fornecimento?

Passo 1

(a) O enunciado diz que a definição de V r m s é a raiz quadrada do valor médio de V 2 sobre um período, ou seja no intervalo de tempo de 1 / f . A gente pode usar a sugestão do enunciado e essa definição para calcular V r m s :

V r m s = V m 2

A fórmulinha para o valor médio de uma função é em um intervalo [ a , b ] é:

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Para a função V 2 no intervalo 0 , 1 f essa fórmula do valor médio fica assim:

V m 2 = f   ∫ 0 1 f V p   s e n 2   π   f t 2 d t

Vamos calcular essa integral e achar V r m s . Vem comigo!

Passo 2

Vamos reescrever nossa integral:

V m 2 = V p 2 f   ∫ 0 1 f s e n 2 2 π f t   d t

Podemos usar a identidade que o enunciado sugere para reescrever esse integrando aí:

s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

V m 2 = V p 2 f   ∫ 0 1 f s e n 2 2 π f t   d t = V p 2 f 2 ∫ 0 1 f 1 - cos ⁡ 4 π f t d t

= V p 2 f 2 ∫ 0 1 f 1 d t - ∫ 0 1 f cos ⁡ 4 π f t d t = V p 2 2 - ∫ 0 1 f cos ⁡ 4 π f t d t

Usando a substituição u = 4 π f t :

d u d t = 4 π f ∴ d u 4 π f = d t

u 1 = 4 π f ⋅ 0 = 0 ,     u 2 = 4 π f ⋅ 1 f = 4 π

V m 2 = V p 2 2 - ∫ 0 1 f cos ⁡ 4 π f t d t = V p 2 2 - ∫ 0 4 π cos ⁡ u d u = V p 2 2 - 0 = V p 2 2

Passo 3

Agora é só lembrar que:

V r m s = V m 2

V r m s = V p 2 2

V r m s = V p 2

Uhul! Conseguimos!

Passo 4

(b) A gente acabou de ver que o pico de voltagem V p se relaciona com V r m s , e isso independe da frequência. A gente só precisa usar essa relação:

V r m s = V p 2 ∴ V p = 2   V r m s

O enunciado diz que V r m s = 120   V . Então:

V p = 2 ⋅ 120 = 169,7   V

Resposta

(a) Prova nos passos

(b) V p = 169,7   V

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53-a) Encontre ∫ 0 1 f 3 x + 1d x se ∫ 1 4 f x d x = 5 b) Encontre ∫ 0 3 f 3 xd x se ∫ 0 9 f x d x = 5 c) Encontre ∫ - 2 0 xf ( x 2 )d x se ∫ 0 4 f x d x = 1
56- Dado que n é um número inteiro positivo, calcule a integral ∫ 0 1 x1 - x n d x
54- Dado que m e n são inteiros positivos, mostre que: ∫ 0 1 x m 1 - x n d x =∫ 0 1 x n 1 - x m d x Fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.
55- Dado que n é um número positivo, mostre que ∫ 0 π 2 s e n n xd x = ∫ 0 π 2 cos n ⁡ xd x Usando uma identidade trigonométrica e fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.
65- Encontre um valor positivo de k tal que a área sob o gráfico de y = e 2 x no intervalo [ 0 , k ] seja 3 unidades quadradas.