Enunciado

(b) Prove que, se f for uma função par, então

∫ - a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x

e dê uma explicação geométrica desse resultado.

[Sugestão: Divida o intervalo de integração de - a até a em duas partes em 0.]

Passo 1

Vamos refletir. Uma função par tem essa propriedade:

f - x = f ( x )

Se a gente usar a sugestão do enunciado, a nossa integral fica assim:

∫ - a a f ( x ) d x = ∫ - a 0 f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x

Podemos aplicar a substituição x = - u na primeira integral:

d x d u = - 1 ∴ d x = - d u

x = - u ∴ u = - x

u 1 = a ,     u 2 = 0

A integral fica:

∫ - a 0 f ( x ) d x = - ∫ a 0 f - u d u

Passo 2

Vamos aplicar uma propriedade de integral e a própria propriedade da fun��ão par:

∫ - a 0 f ( x ) d x = - ∫ a 0 f - u d u = ∫ 0 a f - u d u = ∫ 0 a f u d u

O valor de duas integrais definidas é o mesmo se o integrando e os extremos de integração forem os mesmos, independendo da variável usada. Logo a gente pode dizer que:

∫ - a 0 f ( x ) d x = ∫ 0 a f u d u = ∫ 0 a f x d x

Substituindo isso na continha da nossa integral principal:

∫ - a a f x d x = ∫ - a 0 f x d x + ∫ 0 a f x d x = ∫ 0 a f x d x + ∫ 0 a f x d x

∫ - a a f x d x = 2   ∫ 0 a f x d x

Provamos!

Passo 3

Uma forma geométrica de provar isso é que a função par é simétrica em relação ao eixo y . E isso implica em:

∫ - a 0 f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( x ) d x

Ou seja, a área líquida do gráfico da função à esquerda do eixo y tem o mesmo valor em relação à área do lado direito.

O que leva a gente a pensar que:

∫ - a a f ( x ) d x = ∫ - a 0 f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x

Isso acontece, por exemplo, com x 2 no intervalo - 1 , 1 .

Resposta

Prova nos passos

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