Enunciado

Encontrando o momento de inercia: encontre o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa fina de densidade δ = 1 delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 4 . Em seguida, utilize seu resultado para encontrar I y e I 0 para a placa.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um gráfico da função, temos:

E temos que o eixo x é limitado pelo intervalo [-2,2] e o eixo x é limitado por y 2 = 4 - x 2 → y = ± 4 - x 2

Logo temos:

I x = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 δ y 2 d y d x

E análogo para I y , e sabendo que I o = I x + I y . E podemos assim achar tudo que queremos.

Passo 2

Tendo que δ = 1

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 y 2 d y d x

∫ - 2 2 y 3 3 - 4 - x 2 4 - x 2 d x

2 3 ∫ - 2 2 4 - x 2 3 2   d x  

Chamemos de u = 4 - x 2 3 2 e v = x de forma de d u = - 3 x 4 - x 2   d x e d v = d x

Então temos:

∫ - 2 2 u   d v

E sabemos pelas técnicas de integração que ∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

De forma que:

x 4 - x 2 3 2 - ∫ - 3 x 2 4 - x 2   d x   - 2 2

2 3 6 π

I x = 4 π

E temos por simetria da função objeto dado que I y = _ I x logo I y = 4 π

Passo 3

Tendo I x e I y :

I o = I x + I y

I 0 = 8 π

Resposta

I x = I y = 4 π

I 0 = - 8 π

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