Enunciado

Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina delimitada pela reta y = 1 e a parábola y = x 2 se a densidade for δ x , y = y + 1 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

É dado pelo enunciado que y = x 2 sendo y = 1 logo x ∈ [ ± 1 ] e sendo assim y ∈ [ x 2 , 1 ]

Sendo isso, já temo tudo que é necessário para calcular tanto o centro de massa quanto o momento de inércia.

Passo 2

Para M:

M = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 1 2 y 2 x 2 1 + y x 2 1 d x

∫ - 1 1 3 2 - x 4 2 - x 2 d x

M = 32 15

Para M y :

M y = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 x y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 x 2 y 2 x 2 1 + x y x 2 1   d x

∫ - 1 1 3 x 2 - x 5 2 - x 3 d x

Sendo todas funções impares, e nós sabemos que uma função impar integrada em um intervalo simétrico é nula. Logo

M y = 0

Para M x :

M x = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 y y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 1 3 y 3 x 2 1 + 1 2 y 2 x 2 1 d x

∫ - 1 1 5 6 - 1 3 x 6 - 1 2 x 4 d x

5 6 x - 1 1 - 1 21 x 7 - 1 1 - 1 10 x 5 - 1 1

M x = 48 35

Logo temos que:

x c . m = 0

y c . m = 48 35 32 15 = 9 14

Passo 3

Para I y :

I y = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 x 2 y + 1 d y   d x

∫ - 1 1 x 2 2 y 2 x 2 1 + x 2 y x 2 1 d x

∫ - 1 1 3 x 2 - x 6 - 2 x 4 2   d x

I y = 16 35

Resposta

x c . m = 0

y c . m = 9 14

I y = 16 35

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