Enunciado

Encontrar a área da intersecção entre r = 2 a c o s theta e r = 2 a s e n theta .

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = (1)/(2) int_(theta_0)^(theta_1) [f (theta)]^2 d theta

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário. Para tanto, como a área de interesse é a intersecção entre as duas curvas, é de interesse encontrar os pontos nos quais elas se interceptam.

As curvas se interceptam no ponto em que ambas possuem o mesmo valor, ou seja:

2 a c o s theta = 2 a s e n theta

c o s theta = s e n theta -> t g theta = 1

:. theta = (pi)/(4)

Isso é possível observar no desenho a seguir:

Assim, pode-se calcular a área desejada a partir da área neste trecho de alguma das duas curvas.

Passo 2

Portanto, escolhendo a curva 2 a c o s theta , a área será dada por:

A = int_(pi // 4)^(pi // 2) (2 a c o s theta)^2 d theta

Então:

A = int_(pi // 4)^(pi // 2) 4 a^2 c o s^2 theta d theta

Passo 3

Logo, lembrando das identidades trigonométricas:

c o s^2 (n x) = (1 + cos (2 n x))/(2)

Tem-se:

A = 4 a^2 int_(pi // 4)^(pi // 2) (1 + cos (2 theta))/(2) d theta

A = 2 a^2 int_(pi // 4)^(pi // 2) (1 + cos (2 theta)) d theta

Resolvendo as integrais:

A = 2 a^2 [theta + (s e n (2 theta))/(2)] [[pi,//,2,],[pi,//,4]]

E substituindo os limites de integração:

A = 2 a^2 [(pi)/(2) - (pi)/(4) + (s e n (pi) - s e n ((pi)/(2)))/(2)]

Logo:

A = 2 a^2 [(pi)/(4) - (1)/(2)]

A = a^2 [(pi)/(2) - 1] = a^2 ((pi - 2))/(2) u . a .

Resposta

a^2 ((pi - 2))/(2) u . a .

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