Encontrar a área da intersecção entre r = 2acos(theta) e r = 2asen(theta) .

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário. Para tanto, como a área de interesse é a intersecção entre as duas curvas, é de interesse encontrar os pontos nos quais elas se interceptam.

As curvas se interceptam no ponto em que ambas possuem o mesmo valor, ou seja:

2 a c o s θ = 2 a s e n θ

c o s θ = s e n θ → t g θ = 1

∴ θ = π 4

Isso é possível observar no desenho a seguir:

Assim, pode-se calcular a área desejada a partir da área neste trecho de alguma das duas curvas.

Passo 2

Portanto, escolhendo a curva 2 a c o s θ , a área será dada por:

A = ∫ π / 4 π / 2 2 a c o s θ 2 d θ

Então:

A = ∫ π / 4 π / 2 4 a 2 c o s 2 θ d θ

Passo 3

Logo, lembrando das identidades trigonométricas:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Tem-se:

A = 4 a 2 ∫ π / 4 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A = 2 a 2 ∫ π / 4 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Resolvendo as integrais:

A = 2 a 2 θ + s e n 2 θ 2 π / 2   π / 4

E substituindo os limites de integração:

A = 2 a 2 π 2 - π 4 + s e n π - s e n π 2 2

Logo:

A = 2 a 2 π 4 - 1 2

A = a 2 π 2 - 1 = a 2 π - 2 2   u . a .

Resposta

a 2 π - 2 2   u . a .

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