Enunciado

Encontrar as derivadas laterais das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os intervalos onde f ' x > 0 e f ' x < 0 .

Passo 1

Pessoal, na letra (a) temos a seguinte função:

f x = - 2 x + 6 ,   x ≥ 1 3 x ,   x ≤ 1

Vamos agora calcular as derivadas laterais! Se a função y = f ( x ) está definida em x 1 , então as derivadas à direita e a esquerda de f em x 1 , denotadas por f + ' ( x 1 ) e f - ' ( x 1 ) são definidas por:

f + ' x 1 = lim ∆ x → 0 + ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 + ⁡ f x - f x 1 x - x 1

f - ' x 1 = lim ∆ x → 0 - ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 - ⁡ f x - f x 1 x - x 1

Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais. Assim, temos:

f ' 1 + = lim ∆ x → 0 + ⁡ - 3 1 + ∆ x + 6 + 3 1 - 6 ∆ x = - 3

f ' 1 - = lim ∆ x → 0 - ⁡ 3 1 + ∆ x - 3 ( 1 ) ∆ x = 3

Assim, temos que

f ' x = 3 ,   x < 1 - 3   x > 1

Portanto, f ' ( x ) é crescente em ( - ∞ , 1 ) e negativa e decrescente em ( 1 , ∞ ) .

Resposta

f ' 1 + = - 3

f ' 1 - = 3

f ' ( x ) é crescente em ( - ∞ , 1 ) e negativa e decrescente em ( 1 , ∞ ) .

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