Enunciado

Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = 2 x + 3 ,   s e - 2 ≤ x < 1 x 2 + 4 ,   s e   1 ≤ x ≤ 2 . Vejamos que x = - 3 2 é raiz de f.

Passo 2

Calculando f ' ( x ) :

- Se - 2 ≤ x < 1   :

f ' x = 2

- Se 1 ≤ x ≤ 2   :

f ' x = 2 x

Vejamos que não há raiz de f ' ( x ) . Além disso, é importante observar que a derivada é sempre positiva e que f ' 1 - = f ' 1 + = 2 .   Logo, não temos ponto de cúspide e f ' 1 = 2 .

Passo 3

Calculando f ' ' x :  

- Se - 2 ≤ x < 1   :

f ' ' x = 0

- Se 1 ≤ x ≤ 2   :

f ' ' x = 2

Logo, a concavidade de f a partir de 1 é para cima.

Passo 4

Passo 5

Utilizando esses dados e marcando alguns pontos, teremos:

Passo 6

Vejamos que, verificando os pontos extremos do domínio, f - 2 = - 1   e   f 2 = 8 . Com isso, temos que 2 é um máximo absoluto e - 2 é um mínimo absoluto da mesma forma. Isso se deve pelo motivo da função ser sempre crescente.

Resposta

Gráfico:

E os valores de máximo e mínimo absolutos da função são, respectivamente, 8   q u a n d o   x = 2   e - 1   q u a n d o   x = - 2 .

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