Enunciado

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Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

m) g x = 10 - x - 3 2 ,     x ≤ - 2 5 x - 1 ,   - 2 < x ≤ - 1 - 91 + x - 2 2 ,     x > - 1

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta g ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta g ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

g ' x = - 2 x + 6 ,     x < - 2 5 ,     - 2 < x < - 1 - 91 + x - 2 2 - 1 2 . x - 2 ,     x > - 1

Para a segunda função, temos que g ' x > 0 , certo? Agora devemos calcular para as outras duas. As outras funções são crescentes quando:

- 2 x + 6 > 0

x < 3

E para a outra:

- x - 2 91 + x - 2 2 > 0

Como o denominador nunca vai ser nulo ou negativo, para que toda essa fração dê positivo, o que tem que acontecer é que x < 2 . Resumindo o raciocínio, temos que:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   2 .

Intervalos decrescentes: 2 ,   + ∞ .

Aqui vale ressaltar que esses intervalos abrangem todas as três “subfunções” de g x , belê? Então bora para a outra parte da análise agora!

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função g de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

g ' x = - 2 x + 6 ,     x < - 2 5 ,     - 2 < x < - 1 - 91 + x - 2 2 - 1 2 . x - 2 ,     x > - 1

Passo 4

Da nossa derivada, temos que o único valor de x que é crítico é para o qual a função não está determinada, que é x = 2 . Sendo assim, como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esse ponto na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

g 2 = - 91 + 2 - 2 2 = - 91

Assim como concluímos no passo 2 , como a função sai de um intervalo crescente e vai para um intervalo decrescente, então g 2 é um ponto de máximo, ou seja:

Máximo da função: 2 ,   - 91 ;

Mínimo da função: Não existe.

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   2 .

Intervalos decrescentes: 2 ,   + ∞ .

Máximo da função: 2 ,   - 91 ;

Mínimo da função: Não existe.

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