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Enunciado

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

f) f x = 6 x 2 3 - 2 x

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

f ' x = 2 3 . 6 x - 1 3 - 2

f ' x = 4 x 3 - 2

Igualando a zero:

4 x 3 - 2 = 0

4 x 3 = 2 ⇒ x 3 = 2

∴ x = 2 3 = 8

Então temos que x = 8 é um ponto crítico da nossa função. Além disso, x = 0 também é um ponto crítico, pois não está definido em f ' x .

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

f ' ' x = - 4 3 x - 4 3

f ' ' 8 = - 4 3 . 8 - 4 3 = - 1 12 < 0

Portanto, podemos concluir que x = 8 é um ponto de máximo! No entanto, e quanto ao x = 0 ? Aqui as coisas dão uma complicada, galera. Como x = 0 não está definido, então teremos que fazer uma análise de crescimento e decrescimento em torno do ponto utilizando a derivada primeira, se liga:

À esquerda de x = 0 temos que f ' x < 0 ;

À direita de x = 0 temos que f ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda de x = 0 e ver se f ' x dá positivo ou negativo. Como a derivada sai de um decrescimento e passa para um crescimento, então x = 0 é um ponto de mínimo, galera! Resumindo:

Pontos de máximo: x = 8 ;

Pontos de mínimo: x = 0 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, x = 8 é um ponto de máximo e x = 0 é, de fato, um ponto de mínimo.

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: x = 8 ;

Pontos de mínimo: x = 0 .

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