Enunciado

a. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem.

b. Na mesma tela, esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f ' .

f x = - 2 cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x ,   - π ≤ x ≤ π  

Passo 1

Vamos começar identificando os pontos críticos da função através da derivada primeira.

f ' x = 2   s e n   x - 2 cos ⁡ x   - s e n   x  

f ' x = 2   s e n   x + 2 cos ⁡ x   s e n x  

Passo 2

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero.

f ' x = 2   s e n   x + 2 cos ⁡ x   s e n x   = 0

f ' x = 2 s e n x   1 + c o s x = 0  

2   s e n   x = 0   o u   1 + c o s   x = 0

s e n   x = 0 → x =   - π   o u   0  

cos ⁡ x =   - 1 → x = π   o u   0

Achamos o nossos pontos críticos.

Vamos fazer nossa análise de sinal dentro do nosso intervalo:

Passo 3

E temos que: f 0 = - 3 ; f - π = 1 ; f π = 1

Então temos pontos de máximo local quando x = ± π e ponto de mínimo local quando x = 0 , em que a função vale -3.

Passo 4

b) Gráficos:

Vemos que quando f ' < 0 , a função f é decrescente, e quando f ' > 0 a função é crescente, e também vemos o ponto de mínimo em x=0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Certa pessoa que se encontra em A , para atingir C , utilizará na travessia do rio (de 100m de largura) um barco com velocidade máxima de 10k m / h ; de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade má
Sejam P = 0 , a e Q = b , c , onde a , b e c são números reais dados e estritamente positivos. Seja M = x , 0 , com 0 ≤ x ≤ b .Determine x para que o perímetro do triângulo P M Q seja mínimo.Conclua q
Suponha que f seja derivável até a 2ª ordem em R e tal que para todo x . x f ' ' x + f ' x = 2 Prove que, se x 0 for ponto de máximo local, então x 00 .Prove que, se x 0 for ponto de mínimo local, ent
Seja f derivável em R e seja g dada por g x = f x x , x ≠ 0 . Suponha que p é ponto de máximo local de g .Prove que p f ' p - f p = 0 .Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p
Suponha que f seja derivável até a 2ª ordem em R e tal que para todo x . f ' ' x + x f ' x = 1 Prove que f não admite ponto de máximo local.Prove que, se f admitir um ponto crítico x 0 , então x 0 ser