Enunciado

Encontrar o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região limitada por y 2 = 16 x e y = 4 x .

Passo 1

Inicialmente vamos fazer uma ilustração para entender qual é a região delimitada pelas curvas. Se liga nessa ilustração onde a vermelha representa y 2 = 16 x e a preta y = 4 x :

Para acharmos o ponto de interseção da curva vermelha com a azul do lado direito, podemos fazer assim ó:

y = 16 x 2 y = 4 x

Juntando a primeira com a segunda:

16 x 2 = 4 x

Se x = 0 :

y = 0

Se x ≠ 0 :

16 x = 4

Logo,

x = 1 4

Voltando para segunda equação:

y = 4 × 1 4 → y = 1

Então teremos os seguintes pontos:

1 4 , 1 e 0,0

Passo 2

Como queremos calcular o volume do solido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região limitada, vamos usar a seguinte expressão:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Repare que para a curva vermelha nós já sabemos o valor de f x 2 . Assim,

V = π ∫ 0 1 16 x   d x - π ∫ 0 1 4 x 2 d x

Integrando:

V = π 16 x 2 2 0 1 - π 16 x 3 3 0 1

Pra finalizar, vamos aplicar entre esses pontos.

V = π 8 × 1 - 8 × 0 - π 16 3 × 1 - 16 3 × 0

Fazendo as contas:

V = 8 π - 16 π 3

Portanto,

V = 8 π 3

Resposta

V = 8 π 3

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