Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 25
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Passo 1
E aí pessoal, tudo bem? Essa questão é sobre derivada da função em um ponto! Esse conceito é muito importante para o estudo das retas tangentes, um dos tópicos mais fundamentais da disciplina de Cálculo!
Para resolver essa questão, temos que saber que a expressão para a derivada da função em um ponto é essa aqui:
Conhecendo essa expressão e sabendo trabalhar com limites, teremos todo o conhecimento necessário para resolver esse exercício!
A primeira coisa que devemos fazer é escrever quem é e quem é . Temos que:
Então:
E também podemos concluir que:
E agora, substituindo no limite:
Passo 2
Agora temos que resolver o limite! A primeira dica para resolver: sempre deixa a expressão bem arrumada e organizada, isso ajuda a visualizar o que é necessário para resolver o problema. Na última expressão que achamos, temos um produto notável quadrado da soma! Podemos expandi-lo, ficando assim:
Agora, vamos fazer as multiplicações e jogo de sinal onde pudermos, saca só como vai ficar:
Fazendo Podemos cancelar com , com e também com . Vai ficar assim:
Pronto! Nossa expressão ficou arrumadinha e pronta para ser resolvida!
Passo 3
Para tentar resolver o limite, podemos tentar aplicar a substituição , mas vamos acabar obtendo uma indeterminação . A gente pode resolver isso colocando o do numerador em evidência e cancelando com o do denominador, olha só:
Faznedo a substituição agora, vamos ter:
Pronto! Esse é o nosso !
Resposta
Teremos que .
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