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Encontre f ' ( a ) .

f x = 3 - 2 x + 4 x 2

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? Essa questão é sobre derivada da função em um ponto! Esse conceito é muito importante para o estudo das retas tangentes, um dos tópicos mais fundamentais da disciplina de Cálculo!

Para resolver essa questão, temos que saber que a expressão para a derivada da função em um ponto a é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Conhecendo essa expressão e sabendo trabalhar com limites, teremos todo o conhecimento necessário para resolver esse exercício!

A primeira coisa que devemos fazer é escrever quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) . Temos que:

f x = 3 - 2 x + 4 x 2

Então:

f a = 3 - 2 a + 4 a 2

E também podemos concluir que:

f a + h = 3 - 2 ( a + h ) + 4 ( a + h ) 2

E agora, substituindo no limite:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 - 2 a + h + 4 a + h 2 - ( 3 - 2 a + 4 a 2 ) h

Passo 2

Agora temos que resolver o limite! A primeira dica para resolver: sempre deixa a expressão bem arrumada e organizada, isso ajuda a visualizar o que é necessário para resolver o problema. Na última expressão que achamos, temos um produto notável quadrado da soma! Podemos expandi-lo, ficando assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 - 2 a + h + 4 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) - ( 3 - 2 a + 4 a 2 ) h

Agora, vamos fazer as multiplicações e jogo de sinal onde pudermos, saca só como vai ficar:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 - 2 a - 2 h + 4 a 2 + 8 a h + 4 h 2 - 3 + 2 a - 4 a 2 h

Fazendo Podemos cancelar 3 com - 3 , - 2 a com 2 a e também 4 a 2 com - 4 a 2 . Vai ficar assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ - 2 h + 8 a h + 4 h 2 h

Pronto! Nossa expressão ficou arrumadinha e pronta para ser resolvida!

Passo 3

Para tentar resolver o limite, podemos tentar aplicar a substituição h = 0 , mas vamos acabar obtendo uma indeterminação 0 0 . A gente pode resolver isso colocando o h do numerador em evidência e cancelando com o h do denominador, olha só:

f ' a = lim h → 0 ⁡ h   .   ( - 2 + 8 a + 4 h ) h

f ' a = lim h → 0 ⁡ ( - 2 + 8 a + 4 h )

Faznedo a substituição h = 0 agora, vamos ter:

f ' a : - 2 + 8 a + 4   .   0

f ' a = - 2 + 8 a

Pronto! Esse é o nosso f ' a !

Resposta

Teremos que f ' a = - 2 + 8 a .

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