Encontre f'(a) .

f(t) = t^4 - 5t

Passo 1

E aí galera, beleza? Nessa questão, temos achar a derivada de f ( t ) no ponto t = a . Nesse tipo de questão, temos que usar a expressão da derivada em um ponto, que é dessa forma aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Nosso primeiro passo é escrever quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) . Nós temos que:

f t = t 4 - 5 t

Fazendo t = a , vamos ter:

f a = a 4 - 5 a

Agora, fazendo t = a + h , teremos:

f a + h = ( a + h ) 4 - 5 ( a + h )

Vamos substituir essas duas expressões no nosso limite, ficando assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ [ a + h 4 - 5 a + h ] - ( a 4 - 5 a ) h

Passo 2

Agora, vamos organizar a nossa expressão para que possamos resolver o limite. Temos bem ali um termo que é a + h 4 , e temos que expandi-lo. Podemos escrever esse cara dessa forma aqui:

a + h 4 = a + h 3   .   ( a + h )

Sacou o que eu fiz aí? Escrevi de outra forma para aparecer o produto notável cubo da soma, que já tem a fórmula bem mais conhecida. É bom ter esses produtos notáveis sempre na cabeça para resolver esse tipo de questão! Desenvolvendo, vai ficar assim:

a + h 4 = ( a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 )   .   ( a + h )

Fazendo a multiplicação no estilo “chuveirinho”, olha como vai ficar:

a + h 4 = a 4 + 3 a 3 h + 3 a 2 h 2 + a h 3 + a 3 h + 3 a 2 h 2 + 3 a h 3 + h 4

a + h 4 = a 4 + 4 a 3 h + 6 a 2 h 2 + 4 a h 3 + h 4

Agora, podemos substituir a expressão para a + h 4 no nosso limite:

f ' a = lim h → 0 ⁡ [ a + h 4 - 5 a + h ] - ( a 4 - 5 a ) h

f ' a = lim h → 0 ⁡ [ ( a 4 + 4 a 3 h + 6 a 2 h 2 + 4 a h 3 + h 4 ) - 5 a + h ] - ( a 4 - 5 a ) h

Agora, a gente faz as multiplicações e o jogo de sinal onde tiver que fazer. Saca só:

f ' a = lim h → 0 ⁡ a 4 + 4 a 3 h + 6 a 2 h 2 + 4 a h 3 + h 4 - 5 a - 5 h - a 4 + 5 a h

Olhando essa expressão, ainda podemos dar mais uma arrumada. Dá para cancelar o a 4 com o - a 4 e o - 5 a com o 5 a , ficando assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 4 a 3 h + 6 a 2 h 2 + 4 a h 3 + h 4 - 5 h h

Passo 3

O nosso limite ta pronto para ser resolvido! Primeiro, tentamos fazer a substituição h = 0 na expressão que temos, mas isso vai resultar em uma indeterminação 0 0 . A gente pode eliminar essa indeterminação se colocarmos o h em evidência n numerador e cancelarmos com o h do denominador, dá uma olhada:

f ' a = lim h → 0 ⁡ h ( 4 a 3 + 6 a 2 h + 4 a h 2 + h 3 - 5 ) h

f ' a = lim h → 0 ⁡ 4 a 3 + 6 a 2 h + 4 a h 2 + h 3 - 5

Agora sim! Podemos fazer a substituição h = 0 para resolver o nosso limite. Olha como vai ficar:

f ' a = 4 a 3 + 6 a 2 .   0 + 4 a   .   0 2 + 0 3 - 5

f ' a = 4 a 3 - 5

Pronto! Resolvemos a questão!

Uma última dica: A maior parte da resolução desses limites envolve muito mais a manipulação das variáveis, produto notável e fatoração do que o conhecimento de limite em si. Se estiver tendo dificuldade, dá uma revisada nesses conteúdos que vais ficar fera! ;)

Resposta

Teremos que f ' a = 4 a 3 - 5 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados