Enunciado

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a . Diga quem é f e a em cada caso.

lim x → 5 ⁡ 2 x - 32 x - 5

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😬

Assustou com a questão? Relaxa que a gente vai resolver tim tim po tim tim, vem comigo!

O enunciado nos apresentou um limite que representa a derivada de uma função f em um certo número a . O limite apresentado representa o limite de uma função quando x se aproxima de 5 . Esse tipo de limite é uma forma de determinar a taxa de variação instantênea de uma função em um ponto específico a .

Até aqui tudo beleza?

Passo 2

Para resolver esse exercício, vamos comparar o limite do enunciado com a fórmula da derivada em um ponto a qualquer:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Essa daí é a fórmula mais adequada que temos para resolver a nossa questão, que é quando temos uma subtração no denominador, belê? Existe a outra forma de definir a derivada também (quando temos geralmente um h sozinho no denominador), mas as duas são equivalentes, fechou?

Agora, vamos comparar os dois limites igualando eles:

lim x → 5 ⁡ 2 x - 32 x - 5 = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Nesse momento, nós podemos comparar os numeradores dos dois limites para determinar quem é f x e quem é f a :

2 x - 32 = f x - f a

Reescrevendo 32 como exponencial, teremos que

2 x - 2 5 = f x - f a

Essa aqui é direta! Comparando as expressões, já chegamos à conclusão de que f x = 2 x e a = 5 ! Veja só! 😉

Passo 3

Aqui, a gente vai só confirmar se a nossa resposta ta batendo, afinal, não custa nada né?

Na expressão da derivada no ponto, vamos substituir o valor de f x ,   a e f ( a ) . O único que não temos é f ( a ) , então vamos calculá-lo:

f a = f 5 = 2 5 = 32

Substituindo na expressão:

f ' 5 = lim x → 5 ⁡ 2 x - 32 x - 5

Pronto! Conferimos a nossa resposta e ela tá certinha, uhul!

O que achou? Responde Aí! 👀

Resposta

Teremos que f x = 2 x e a = 5 .

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