Encontre ∂w/∂v quando u = -1 , v = 2 se w = xy + ln(z) , x = v^2/u , y = u + v , z = cos u .

Passo 1

Oi galerinha, para encontrarmos ∂ w / ∂ v , precisamos relembrar a equação da Regra da Cadeia neste caso:

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ v

Primeiramente, iremos fazer as derivadas ∂ x / ∂ v , ∂ y / ∂ v e ∂ z / ∂ v , para isso precisamos relembrar que:

y = ln ⁡ u → y ' = u ' u

E sabemos que u = - 1 v = 2       . Para x = v 2 / u , logo:

∂ x ∂ v = 2 v u = 2 ∙ 2 - 1

∂ x ∂ v = - 4

Para y = u + v :

∂ y ∂ v = 1

E para z = cos ⁡ u :

∂ z ∂ r = 0

Passo 2

Para calcularmos as derivadas ∂ w / ∂ x , ∂ w / ∂ y e ∂ w / ∂ z , vamos substituir os valores de u = - 1 v = 2       em x = v 2 / u y = u + v z = cos ⁡ u   , temos:

x = 2 2 - 1 = - 4                             y = - 1 + 2 = 1                     z = cos ⁡ ( - 1 ) = cos ⁡ 1  

Agora vamos encontrar a derivada da função:

w = x y + ln ⁡ z

A derivada para x :

∂ w ∂ x = y = 1

Para y :

∂ w ∂ y = x = - 4

E para z :

∂ w ∂ z = 1 z = 1 cos ⁡ 1 = sec ⁡ 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

∂ w ∂ v = 1 ∙ - 4 + - 4 ∙ 1 + sec ⁡ 1 ∙ 0 = - 4 - 4

∂ w ∂ v = - 8

Resposta

∂ w ∂ v = - 8

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