8. Seja v(r, theta) = u(x, y) , onde x = r \* cos(theta) e y = r \* sen(theta) . Verifique que

(∂^2u/∂x^2) + (∂^2u/∂y^2) = (∂^2v/∂r^2) + (1/r)(∂v/∂r) + (1/r^2)(∂^2v/∂theta^2)

Passo 1

Vamos calcular as derivadas do lado direito da equação pra facilitar a nossa vida, porque se fossemos calcular as do lado esquerdo, teríamos que usar r = x cos ⁡ θ   e θ = ... (Que só Deus sabe).

Vamos calcular primeiro ∂ v ∂ r   e ∂ v ∂ θ .

∂ v ∂ r = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r

∂ v ∂ θ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ θ

Como x = r cos  ⁡ θ e y = r   s e n   θ ,   Então

∂ x ∂ r =   cos  ⁡ θ , ∂ y ∂ r = s e n   θ , ∂ x ∂ θ = - r sen  ⁡ θ e ∂ y ∂ v = r   c o s   θ .

Substituindo ∂ x ∂ r =   cos  ⁡ θ , ∂ y ∂ r = s e n   θ , ∂ x ∂ θ = - r sen  ⁡ θ e ∂ y ∂ v = r   c o s   θ , ficamos com

∂ v ∂ r = ∂ u ∂ x ( cos  ⁡ θ ) + ∂ u ∂ y ( s e n   θ )

∂ v ∂ θ = ∂ u ∂ x ( - r sen  ⁡ θ ) + ∂ u ∂ y ( r   c o s   θ )

Arrumando

∂ v ∂ r = cos  ⁡ θ ∂ u ∂ x + s e n   θ ∂ u ∂ y

∂ v ∂ θ = - r sen  ⁡ θ ∂ u ∂ x + r   c o s   θ ∂ u ∂ y

Passo 2

Vamos calcular a segunda derivada ∂ 2 v ∂ r 2 e ∂ 2 v ∂ θ 2 .

Vamos calcular primeiro ∂ 2 v ∂ r 2 . (PS: atenção, pois parece ser indipendente de r, nos fazendo achar que ∂ 2 v ∂ r 2 = 0 ,   PORÉM, u depende de r, então ∂ u ∂ x e ∂ u ∂ y , consequentemente, também dependem de r )

∂ 2 v ∂ r 2 = cos  ⁡ θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ ∂ y ∂ u ∂ x ∂ y ∂ r + s e n   θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ y ∂ x ∂ r + ∂ ∂ y ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r

Substituindo ∂ x ∂ r =   cos  ⁡ θ , ∂ y ∂ r = s e n   θ , ficamos com

∂ 2 v ∂ r 2 = cos  ⁡ θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ x ( cos  ⁡ θ ) + ∂ ∂ y ∂ u ∂ x ( s e n   θ ) + s e n   θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ y ( cos  ⁡ θ ) + ∂ ∂ y ∂ u ∂ y ( s e n   θ )

Arrumando

∂ 2 v ∂ r 2 = cos 2 ⁡ θ ∂ 2 u ∂ x 2 + cos ⁡ θ   s e n   θ ∂ 2 ∂ y   ∂ x + s e n   θ cos ⁡ θ ∂ 2 ∂ x   ∂ y   + s e n 2 θ ∂ 2 u ∂ y 2    

Vamos calcular, então ∂ 2 v ∂ θ 2 usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, que vai dar um bom trabalho, em compensação

∂ 2 v ∂ θ 2 = - r cos  ⁡ θ ∂ u ∂ x - r sen  ⁡ θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ ∂ y ∂ u ∂ x ∂ y ∂ θ + r - s e n   θ ∂ u ∂ y + r cos  ⁡ θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ y ∂ x ∂ θ + ∂ ∂ y ∂ u ∂ y ∂ y ∂ θ

Substituindo, ∂ x ∂ θ = - r sen  ⁡ θ e ∂ y ∂ θ = r   c o s   θ , ficamos com

∂ 2 v ∂ θ 2 = - r cos  ⁡ θ ∂ u ∂ x - r sen  ⁡ θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ x ( - r sen  ⁡ θ ) + ∂ ∂ y ∂ u ∂ x ( r   c o s   θ ) + r - s e n   θ ∂ u ∂ y + r cos  ⁡ θ ∂ ∂ x ∂ u ∂ y ( - r sen  ⁡ θ ) + ∂ ∂ y ∂ u ∂ y ( r   c o s   θ )

Arrumando

∂ 2 v ∂ θ 2 = - r cos  ⁡ θ ∂ u ∂ x + r 2 sen 2 ⁡ θ ∂ 2 u ∂ x 2 - r 2   s e n   θ cos ⁡ θ ∂ 2 ∂ 2 u ∂ y   ∂ x - r   s e n   θ ∂ u ∂ y + r 2 sen  ⁡ θ cos  ⁡ θ   ∂ 2 u ∂ y   ∂ x + r 2 cos 2 ⁡ θ   ∂ 2 u ∂ y 2            

Portanto

∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

Resposta

∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

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