Encontre dy / dx :

y = log(1 - sen^2(x))

Passo 1

Analisando a função observamos que temos uma função dentro da outra e para isso usaremos a Regra da Cadeira.

Vamos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

f g x '

y = l o g ⁡ ( 1 - s e n 2 ( x ) )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = l o g ( g x )

u = g x = ( 1 - s e n 2 x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

y = l o g ( u )

Usando as identidades trigonométricas, temos :

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

cos 2 ⁡ x = 1 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2

Então substituindo e 2 x = h :

u = 1 - s e n 2 x = 1 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2 = 1 - c o s ⁡ ( h ) 2

Derivando primeiro a função f em relação a u :

A derivada de um logaritmo pode ser dada por:

y = l o g a x

d y d x = 1 x . l o g e a = 1 x . l n ⁡ ( a )

d y d u = 1 u . l n ⁡ ( 10 )

E derivando u em relação a x :

d u d x = d d x 1 + cos ⁡ 2 x 2 = - s e n ( 2 x )

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde d y d x :

Sabendo que:

Aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = - s e n ( 2 x ) . 1 u . l n ⁡ ( 10 )

Substituindo u em d y d u :

d y d x = - s e n ( 2 x ) . 1 c o s 2 x . l n ⁡ ( 10 )

Substituindo pela identidade trigonométrica s e n 2 x = 2 . s e n x . c o s ⁡ ( x ) :

d y d x = - 2 . s e n x . c o s ⁡ ( x ) c o s 2 x . l n ⁡ ( 10 )

Podemos fazer alguns cortes na equação :

d y d x = 2 . s e n ⁡ ( x ) c o s x . l n ⁡ ( 10 )

Pela substituição trigonométrica c o t g x = s e n ⁡ ( x ) c o s ( x ) :

d y d x = 2 . t g ⁡ ( x ) l n ⁡ ( 10 )

Resposta

d y d x = 2 . t g ⁡ ( x ) l n ⁡ ( 10 )

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