Encontre dy / dx por derivação implícita:

x^3 + y^3 = 3xy^2

Passo 1

Para começarmos, vamos derivar implicitamente por x ambos os lados da nossa igualdade:

d d x [ x 3 + y 3 ] = d d x [ 3 x y 2 ]

Podemos abrir a soma e constantes para fora:

d d x x 3 + d d x y 3 = 3 ∙ d d x [ x y 2 ]

3 x 2 + d d x y 3 = 3 ∙ d d x [ x y 2 ]

Passo 2

Pela regra do produto:

3 x 2 + d d x y 3 = 3 ∙ d d x x ∙ y 2 + x ∙ d d x y 2

3 x 2 + d d x y 3 = 3 ∙ y 2 + x ∙ d d x y 2

Pela regra da cadeia:

3 x 2 + d y 3 d y ∙ d y d x = 3 ∙ y 2 + x ∙ d y 2 d y ∙ d y d x

3 x 2 + 3 y 2 ∙ d y d x = 3 ∙ y 2 + x ∙ 2 y ∙ d y d x

3 y 2 ∙ d y d x - 6 y d y d x = 3 y 2 - 3 x 2 ∙

3 y 2 - 6 y ∙ d y d x = 3 y 2 - 3 x 2

Assim,

d y d x = 3 y 2 - 3 x 2 3 y 2 - 6 y

Ou

d y d x = y 2 - x 2 y 2 - 2 y

Resposta

d y d x = y 2 - x 2 y 2 - 2 y

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