Enunciado

Encontre r (t) se r^' (t) = 2 t i + 3 t^2 j + sqrt(t) k e r (1) = i + j .

Passo 1

A função vetorial r ( t ) é primitiva da função r ' ( t ) . Assim, temos

r (t) = int r^' (t) d t

r (t) = int ( 2 t i + 3 t^2 j + sqrt(t) k ) d t

Separando a integral por termos obtemos:

r (t) = (int 2 t d t) i + (int 3 t^2 d t) j + ( int t^((1)/(2)) d t ) k

= t^2 i + t^3 j + (2)/(3) t^((3)/(2)) k + C

OBS: C é um vetor contante

Passo 2

No passo anterior obtemos uma forma geral para r ( t ) dentro da qual existe um vetor C constante desconhecido. Contudo, foi dada uma outra informação no enunciado:

r (1) = i + j

Com essa informação poderemos obter o valor de C. Temos

r (1) = i + j + (2)/(3) k + C = i + j

Portanto, concluímos que

(2)/(3) k + C = 0

C = - (2)/(3) k

Passo 3

Substituindo o valor de C obtido no Passo 2, dentro da equação de r ( t ) , obtemos:

r (t) = t^2 i + t^3 j + (2)/(3) t^((3)/(2)) k - (2)/(3) k

r (t) = t^2 i + t^3 j + ((2)/(3) t^((3)/(2)) - (2)/(3)) k

Resposta

r (t) = t^2 i + t^3 j + ((2)/(3) t^((3)/(2)) - (2)/(3)) k

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