Enunciado

Calcule a integral.

int_0^(pi // 2) (3 s e n^2 t cos t i + 3 s e n t cos^2 t j + 2 s e n t cos t k) d t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes. Logo, temos

int_0^(pi // 2) (3 s e n^2 t cos t i + 3 s e n t cos^2 t j + 2 s e n t cos t k) d t

= (3 int_0^((pi)/(2)) s e n^2 t cos t d t) i + (3 int_0^((pi)/(2)) s e n t cos^2 t d t) j + (2 int_0^((pi)/(2)) s e n t cos t d t) k

Vamos resolver cada um separadamente, começando com:

3 int_0^((pi)/(2)) s e n^2 t cos t d t

Vamos resolver por substituição, fazendo:

u = sin t

d u = cos t d t

Substituindo na integral:

3 int_0^((pi)/(2)) u^2 d u = 3 (((u^3)/(3))|_0^((pi)/(2))

Aplicando os limites de integração e voltando pra variável t , temos:

3 (((sin^3 t)/(3))|_0^((pi)/(2)) = sin^3 ((pi)/(2)) - sin^3 0 = 1

Passo 2

Resolvendo a segunda integral:

3 int_0^((pi)/(2)) s e n t cos^2 t d t

Vamos usar o mesmo método, dessa vez fazendo:

u = cos t

d u = - sin t d t

Substituindo na integral:

- 3 int_0^((pi)/(2)) u^2 d u = - 3 (((u^3)/(3))|_0^((pi)/(2))

Voltando pra variável t e substituindo os limites de integração, temos:

- 3 (((cos^3 t)/(3))|_0^((pi)/(2)) = - cos^3 ((pi)/(2)) - ( - cos^3 (0) )

= - 0 + 1 = 1

Passo 3

Na terceira integral, temos:

2 int_0^((pi)/(2)) s e n t cos t d t

Fazendo:

u = sin t

d u = cos t d t

Substituindo na integral:

2 int_0^((pi)/(2)) u d u = 2 (((u^2)/(2))|_0^((pi)/(2))

Voltando pra variável t :

2 (((sin^2 t)/(2))|_0^((pi)/(2)) = sin^2 ((pi)/(2)) - sin^2 (0)

= 1 - 0 = 1

Passo 4

Prontinho, agora podemos juntar tudo na nossa integral original:

int_0^(pi // 2) (3 s e n^2 t cos t i + 3 s e n t cos^2 t j + 2 s e n t cos t k) d t

Usando os resultados dos passos anteriores, temos:

1 i + 1 j + 1 k

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

i + j + k

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