Enunciado

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(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 = 9 por métodos gráficos.

(b) Resolva o problema da parte (a) com o auxílio dos multiplicadores de Lagrange. Use um SCA para resolver as equações numericamente. Compare sua resposta com a da parte (a).

Passo 1

(a) Usando um SCA, vamos traçar as curvas:

Os gráficos de f x ,   y = 3,7 e f x ,   y = 350 parecem ser tangentes à circunferência. Então, 3,7 seria o mínimo, e 350 seria o máximo, fazendo uma estimativa.

Passo 2

(b) Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

3 x 2 + 3 y ,       3 y 2 + 3 x = λ 2 ( x - 3 ) ,       2 ( y - 3 )

Então ficamos com três equações:

3 x 2 + 3 y = λ 2 x - 6                     3 y 2 + 3 x = λ ( 2 y - 6 )                     x - 3 2 + y - 3 2 = 9

Passo 3

Usando um CAS para resolver essas equações, obtemos:

x = y = 3 - 3 2 2                                         o u                                         x = y = 3 + 3 2 2

f 3 - 3 2 2   ,       3 - 3 2 2 = 351 2 - 243 2 2 ≈ 3,673

f 3 + 3 2 2   ,       3 + 3 2 2 = 351 2 + 243 2 2 ≈ 3 47 , 3 3

Ou seja, o mínimo e o máximo calculados estão de acordo com os estimados no item (a).

Resposta

(a) 3,7 e 350

(b) 3,673 e 347,33  

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