Enunciado

45. Se u t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t ) e v t = ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t ) , use a Fórmula 4 do Teorema 3 para encontrar

d d t [ u t ⋅ v t ]

Passo 1

A Fórmula 4 do Teorema 3 nos diz que:

d d t u t ⋅ v t = u ' t ⋅ v t + u t ⋅ v ' ( t )

Então, vamos primeiro achar u ' t ⋅ v t depois achar u t ⋅ v ' ( t ) e, por fim, somar os termos.

Passo 2

Para o fator u ' t ⋅ v t , temos o seguinte:

u t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t )

Derivando:

u ' t = cos ⁡ t ,   - s e n   t ,   1

Como v t = ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t ) , agora é só fazer o produto escalar, olha só:

u ' t ⋅ v t = ( cos ⁡ t ,   - s e n   t ,   1 ) ⋅ ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t )

Assim,

u ' t ⋅ v t = t cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + s e n   t

Passo 3

Agora vamos ver como fica o termo u t ⋅ v ' ( t )

v t = ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t )

Derivando,

v ' t = ( 1 , - s e n   t , cos ⁡ t )

Mas a gente sabe que u t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t ) , então o produto escalar fica assim ó:

u t ⋅ v ' t = ( s e n   t , cos ⁡ t ,   t ) ⋅ ( 1 ,   - s e n   t , cos ⁡ t )

Logo,

u t ⋅ v ' t = s e n   t - s e n   t cos ⁡ t + t cos ⁡ t

Mas do Passo 1:

d d t u t ⋅ v t = u ' t ⋅ v t + u t ⋅ v ' t

Com o que achamos no Passo 2 e 3:

d d t u t ⋅ v t = t cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + s e n   t + s e n   t - s e n   t cos ⁡ t + t cos ⁡ t

Portanto,

d d t u t ⋅ v t = 2 t cos ⁡ t + 2   s e n   t - 2 s e n   t cos ⁡ t

Resposta

d d t u t ⋅ v t = 2 t cos ⁡ t + 2   s e n   t - 2 s e n   t cos ⁡ t

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Determine r → t se r → ' t = s e nt i ^ - cos ⁡ t j ^ + 2 t k ^ e r → 0 = i ^ + j ^ + 2 k ^
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Dados f → t = tj → + t 2 k → e g → t = t 2 j → - t k → , determinar:b) f → t ⋅ g → t '