Enunciado

Encontre f^' ( x ) :

11. f (x) = (4)/((3 x^2 - 2 x + 1)^3)

Passo 1

Algumas funções são mais trabalhosas de se derivar, principalmente quando são compostas e envolvem frações, raízes, etc. Mas não tem mistério, juro! Só fazer devagar, aplicando a regra da cadeia, como sempre, que tudo dá certo!!

Essa f ( x ) , uma função quociente composta, pode ser representada assim:

f (x) = (g ( x ))/(h ( i (x) ))

Onde i (x) = 3 x^2 - 2 x + 1 , h (i (x)) = (3 x^2 - 2 x + 1)^3 e g (x) = 4 .

Agora, você lembra como derivamos um quociente de funções? Pela seguinte regra, aplicada às nossas funções:

f^' (x) = (g^' (x) * h (i (x)) - g ( x ) * [h^' (i (x)) * i ' ( x )])/(h ( i (x) )^2)

Repara que o termo [h^' (i (x)) * i ' ( x )] é justamente onde a regra da cadeia se aplica. A derivada de uma função composta h ( i (x) ) se calcula “de fora pra dentro”, como ao descascar uma cebola!

Passo 2

Por fim, vamos começar a derivar, aplicando a regra da derivada de um quociente. Vamos ter:

f^' (x) = (0 * (3 x^2 - 2 x + 1)^3 - 4 * [3 * (3 x^2 - 2 x + 1)^2 * (6 x - 2)])/([(3 x^2 - 2 x + 1)^3]^2)

Vamos simplificando o que for possível:

f^' (x) = (- 4 * 3 * (3 x^2 - 2 x + 1)^2 * (6 x - 2))/((3 x^2 - 2 x + 1)^6)

Passo 3

Temos um termo em comum no numerador e no denominador. Pela regrinha do expoente, cortamos e simplificamos mais ainda:

f^' (x) = (- 12 * (6 x - 2))/((3 x^2 - 2 x + 1)^4)

Não tem muito mais o que fazer, nem possibilidades de simplificação. Só fazemos a multiplicação no numerador e teremos:

:. f^' (x) = (- 72 x + 24)/((3 x^2 - 2 x + 1)^4)

Resposta

:. f^' (x) = (- 72 x + 24)/((3 x^2 - 2 x + 1)^4)

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