Encontre f'(x) :

11.f(x) = 4 / ((3x^2 - 2x + 1)^3)

Passo 1

Algumas funções são mais trabalhosas de se derivar, principalmente quando são compostas e envolvem frações, raízes, etc. Mas não tem mistério, juro! Só fazer devagar, aplicando a regra da cadeia, como sempre, que tudo dá certo!!

Essa f ( x ) , uma função quociente composta, pode ser representada assim:

f x = g ( x ) h ( i x )

Onde i x = 3 x 2 - 2 x + 1 , h i x = 3 x 2 - 2 x + 1 3 e g x = 4 .

Agora, você lembra como derivamos um quociente de funções? Pela seguinte regra, aplicada às nossas funções:

f ' x = g ' x ∙ h i x - g ( x ) ∙ h ' i x ∙ i ' ( x ) h ( i x ) 2

Repara que o termo h ' i x ∙ i ' ( x ) é justamente onde a regra da cadeia se aplica. A derivada de uma função composta h ( i x ) se calcula “de fora pra dentro”, como ao descascar uma cebola!

Passo 2

Por fim, vamos começar a derivar, aplicando a regra da derivada de um quociente. Vamos ter:

f ' x = 0 ∙ 3 x 2 - 2 x + 1 3 - 4 ∙ 3 ∙ 3 x 2 - 2 x + 1 2 ∙ 6 x - 2 3 x 2 - 2 x + 1 3 2

Vamos simplificando o que for possível:

f ' x = - 4 ∙ 3 ∙ 3 x 2 - 2 x + 1 2 ∙ 6 x - 2 3 x 2 - 2 x + 1 6

Passo 3

Temos um termo em comum no numerador e no denominador. Pela regrinha do expoente, cortamos e simplificamos mais ainda:

f ' x = - 12 ∙ 6 x - 2 3 x 2 - 2 x + 1 4

Não tem muito mais o que fazer, nem possibilidades de simplificação. Só fazemos a multiplicação no numerador e teremos:

∴ f ' x = - 72 x + 24 3 x 2 - 2 x + 1 4

Resposta

∴ f ' x = - 72 x + 24 3 x 2 - 2 x + 1 4

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