Encontre f'(x) :

14.f(x) = raiz_cubica(12 + raiz(x))

Passo 1

Algumas funções são mais trabalhosas de se derivar, principalmente quando são compostas, envolvem frações, raízes, etc. Mas não tem mistério, juro! Só fazer devagar, aplicando a regra da cadeia, como sempre, que tudo dá certo!!

Essa f ( x ) , uma função raiz composta, pode ser representada assim:

f x = g h x + i ( x )

Onde i x = x , h x = 12 , e g h x + i ( x ) = 12 + x 3 .

Aplicando a regra da cadeia, derivando “ de fora pra dentro”, temos pra f ' ( x ) :

f ' x = g ' h x + i ( x ) ∙ h ' x + i ' ( x )

Passo 2

E você lembra como é a derivada de uma função raiz cúbica do tipo f u = u 3 ? Vamos determinar! Começamos por reescrever u da seguinte forma:

f u = u 3 = u 1 / 3

Agora, derivamos pela regra do quociente, como já estamos acostumados. Vamos ter:

f ' u = 1 3 ∙ u 1 3 - 1 ∙ u '

f ' u = 1 3 ∙ u - 2 3 ∙ u '

f ' u = 1 3 ∙ 1 u 2 3 ∙ u '

f ' u = 1 3 ∙ u 2 3 ∙ u '

∴ f ' u = 1 3 ∙ u 2 3 ∙ u '

Então, aqui a gente tem que 1 3 ∙ u 2 3 representa g ' h x + i ( x ) e u ' representa h ' x + i ' ( x ) . Sabido isso, já podemos derivar, aplicando as funções.

Passo 3

Vamos ter:

f ' x = 1 3 ∙ 12 + x 2 3 ∙ 0 + 1 2 x

Aqui, lembrando de exercícios anteriores, a derivada da função raiz quadrada do tipo i x = x vale i ' x = 1 2 x . Continuando, temos:

f ' x = 1 3 ∙ 12 + x 2 3 ∙ 2 x

Não tem muito mais simplificações possíveis de fazer, já chegamos à resposta final, assim:

∴ f ' x = 1 6 ∙ 12 + x 2 3 ∙ x

Resposta

f ' x = 1 6 ∙ 12 + x 2 3 ∙ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados