Encontre d^2y/dx^2 :

y = x \* tg(1 / x)

Passo 1

E aí, tudo beleza?

A questão pede a segunda derivada, que é d 2 y / d x 2 , mas sem pânico, é só a gente derivar duas vezes essa funçãozinha aí!

A gente tem funções compostas, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

A gente tem um produto, então vamos aplicar a regrinha do produto, beleza?

Passo 2

Vamos montar a regra do produto:

d y d x = x '   t g   1 x + x     t g   1 x '

Agora derivado com a regra da cadeia:

d y d x = 1 t g   1 x + x   sec 2 ⁡ 1 x 1 x '

d y d x = t g   1 x + x sec 2 ⁡ 1 x - 1 x 2

d y d x = t g   1 x - 1 x sec 2 ⁡ 1 x

Primeira derivada já foi!

Passo 3

Agora a gente vai derivar a expressão de d y / d x pra encontrar d 2 y / d x 2 ...

d 2 y d x 2 = sec 2 ⁡ 1 x   1 x ' + - 1 x ' sec 2 ⁡ 1 x + - 1 x sec 2 ⁡ 1 x '  

d 2 y d x 2 =   - 1 x 2 sec 2 ⁡ 1 x + 1 x 2 sec 2 ⁡ 1 x - 1 x 2 sec ⁡ 1 x sec ⁡ 1 x '

d 2 y d x 2 = - 2 x sec ⁡ 1 x   sec ⁡ 1 x   t g 1 x 1 x '  

d 2 y d x 2 =   - 2 x sec 2 ⁡ 1 x   t g 1 x   - 1 x 2

d 2 y d x 2 = 2 x 3 sec 2 ⁡ 1 x   t g   1 x

Ufaaa! Acabamos por aqui😉

Resposta

d 2 y d x 2 = 2 x 3 sec 2 ⁡ 1 x   t g   1 x

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