Enunciado

Encontre d y / d x

y = s e n x s e c 3 x + 1

Vamos aplicar d / d x de ambos os lados! Ficamos com:

d y d x = d x 5 s e c 1 x d x

Como temos uma divisão, vamos aplicar a Regra do Quociente, então ficamos com

d y d x = s e n ( x ) ' * s e c 3 x + 1 - s e n ( x ) * s e c 3 x + 1 ' sec 2 ⁡ ( 3 x + 1 )

Passo 1

Vamos começar com a primeira multiplicação

s e n x ' * s e c 3 x + 1

c o s * s e c 3 x + 1

Passo 2

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

s e n ( x ) * s e c 3 x + 1 '

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = s e c ⁡ ( x )

f ' x = sec ⁡ x t g ( x )

f ' g x = sec ⁡ 3 x + 1 t g 3 x + 1

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = 3 x + 1

g ' x = 3

Passo 3

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é a s e c ⁡ ( 3 x + 1 ) '

s e c 3 x + 1 ' = sec ⁡ 3 x + 1 t g 3 x + 1 * 3

s e c ⁡ ( 3 x + 1 ' = 3 sec ⁡ 3 x + 1 t g 3 x + 1

Passo 4

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

d y d x = s e n ( x ) ' * s e c 3 x + 1 - s e n ( x ) * s e c 3 x + 1 ' sec 2 ⁡ ( 3 x + 1 )

d y d x = c o s ⁡ ( x ) * s e c 3 x + 1 - s e n ( x ) * 3 sec ⁡ 3 x + 1 t g 3 x + 1 sec 2 ⁡ ( 3 x + 1 )

d y d x = c o s ⁡ ( x ) s e c 3 x + 1 - 3 s e n ( x ) sec ⁡ 3 x + 1 t g 3 x + 1 sec 2 ⁡ ( 3 x + 1 )

Simplificando isso ai ficamos com

d y d x = c o s ⁡ ( x ) - s e n ( x ) * 3 t g 3 x + 1 sec ⁡ ( 3 x + 1 )

Resposta

d y d x = c o s ⁡ ( x ) - s e n ( x ) * 3 t g 3 x + 1 sec ⁡ ( 3 x + 1 )

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