Encontre f'(x)

f(x) = [x + cossec(x^3 + 3)]^(-3)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = x - 3  

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = x + c o s s e c x 3 + 3

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f x = x - 3

f ' x = - 3 x - 4

Como g x = x + c o s s e c x 3 + 3 , ficamos com

f ' g x = - 3 x + c o s s e c x 3 + 3 - 4

Agora para g ( x )

g x = x + c o s s e c x 3 + 3

g ' x = 1 + ( c o s s e c x 3 + 3 '

Vamos resolver essa derivada de c o s s e c x 3 + 3 com uma outra regra da cadeia

c o s s e c x 3 + 3 ' = u ' v x v ' x

u x = c o s s e c x

u ' x = - c o t g x c o s s e c ( x )

u ' v x = - c o t g x 3 + 3 c o s s e c x 3 + 3

v x = x 3 + 3

v ' x = 3 x 2

c o s s e c x 3 + 3 ' = - c o t g x 3 c o s s e c x 3 + 3 * 3 x 2

Passo 3

Maaas vamos lembrar que

g ' x = 1 + c o s s e c x 3 + 3 '

Então temos que

g ' x = 1 + ( - 3 x 2 c o t g x 3 c o s s e c x 3 + 3 )

E lembrando que

f ' g x = - 3 x + c o s s e c x 3 + 3 - 4

Passo 4

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

f g x ' = - 3 x + c o s s e c x 3 + 3 4 * 1 + ( - 3 x 2 c o t g x 3 c o s s e c x 3 + 3 )

f g x ' = - 3 * 1 - 3 x 2 c o t g x 3 c o s s e c x 3 + 3 x + c o s s e c x 3 + 3 4

Para tentar deixar a resposta menos feia, podemos deixar assim:

f g x ' = 3 * 3 x 2 c o t g x 3 c o s s e c x 3 + 3 - 1 x + c o s s e c x 3 + 3 4

Resposta

f g x ' = 3 * 3 x 2 c o t g x 3 c o s s e c x 3 + 3 - 1 x + c o s s e c x 3 + 3 4

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