Encontre dy/dx

y = x^5 sec(1/x)

Passo 1

Vamos aplicar d / d x de ambos os lados! Ficamos com:

d y d x = d x 5 s e c 1 x d x

Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, então ficamos com

d y d x = x 5 ' * s e c 1 x + x 5 * s e c 1 x '

Passo 2

Vamos começar com a primeira multiplicação

x 5 ' * s e c 1 x

5 x 4 * s e c 1 x

Passo 3

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

x 5 * s e c 1 x '

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = s e c ⁡ ( x )

f ' x = sec ⁡ x t g ( x )

f ' g x = sec ⁡ 1 x t g 1 x

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = 1 x

g ' x = - 1 x 2

Passo 4

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é s e n 2 5 x '

s e c 1 x ' = sec ⁡ 1 x t g 1 x * - 1 x 2

s e c 1 x ' = - sec ⁡ 1 x t g 1 x x 2

Passo 5

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

d y d x = x 5 ' * s e c 1 x + x 5 * s e c 1 x '

d y d x = 5 x 4 * s e c 1 x + x 5 * - sec ⁡ 1 x t g 1 x x 2

d y d x = 5 x 4 sec ⁡ 1 x - x 3 sec ⁡ 1 x t g 1 x

Podemos colcar sec ⁡ 1 x x 3 em evidencia e ficamos com

d y d x = sec ⁡ 1 x x 3 5 x - t g 1 x

Resposta

d y d x = sec ⁡ 1 x x 3 5 x - t g 1 x

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