Encontre f'(x)

f(x) = t \* g^4(x^3)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

f g x ' = f ' g x * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f x = t g 4 ( x )

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g x = x 3

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f x = t g 4 x

Ai aqui caímos em outra regra da cadeia, vamos ficar com

u v x ' = u ' v x * v ' ( x )

u x = x 4

u ' x = 4 x 3

u ' v x = 4 t g 3 x

v x = t g x

v ' x = sec 2 ⁡ x

Então nossa f ' x fica:

f ' x = u ' v x * v ' ( x )

f ' x = 4 t g 3 x * s e c 2 x

Como g x = x 3 , ficamos com

f ' g x = 4 t g 3 x 3 * s e c 2 x 3

Agora para g ( x )

g x = x 3

g ' x = 3 x 2

g ' x = 3 x 2

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

f g x ' = 4 t g 3 x 3 * sec 2 ⁡ x 3 * 3 x 2

f g x ' = 12 x 2 sec 2 ⁡ x 3 t g 3 ( x 3 )

Resposta

f g x ' = 12 x 2 sec 2 ⁡ x 3 t g 3 ( x 3 )

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