Enunciado

27 – 30 Encontre f ' x e f ' ' x .

29. f x = x 2 1 + e x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com vocêw

Cara, essa questão deu pra gente a função

f x = x 2 1 + e x

E pediu pra gente encontrar f ' x e f ' ' x , que são a derivadas de primeira e de segunda ordem dessa função.

E repara que essa função é formada por uma fração, então poderemos usar a regra do quociente para encontrar sua derivada.

Para isso, vamos entender a funçõa como sendo formada pela divisão de duas outras funções que chamaremos de u e v . Veja:

u = x 2

v = 1 + e x

E a função poderá ser entendida como:

f x = u v

Para esse caso a regra do quociente se torna:

f ' x = u ' v - v ' u v 2

Com isso conseguimos achar a derivada de primeira ordem. Depois disso precisaremos encontrar a de segunda ordem derivamos novamente a função que enontrármos. Mas vamos por partes porque ainda não sabemos qual será essa segunda função.

Agora que já sabemos o que fazer. Vamos colocar a mão na massa.

Passo 2

Como nossa função é

f x = x 2 1 + e x

E estamos olhando para ela como:

f x = u v

E para achar a derivada precisamo usar a regra:

f ' x = u ' v - v ' u v 2

Teremos:

u = x 2

Derivando temos:

u ' = 2 x

E o v vale:

v = 1 + e x

Que derivando, fica:

v ' = e x

Para para usar a regra do quociente,

Aplicando na nossa equação:

f ' x = 2 x   1 + e x - e x x 2 1 + e x 2

Multiplicando os termos:

f ' x = 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 2

Prontinho. Essa é nossa primeira derivada.

Passo 3

Vamos derivar mais uma vez para encontrarmos f ' ' ( x ) , usando a regra do quociente a partir da função

f ' x = 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 2

Agora o u vai valer:

u = 2 x + 2 x e x - x 2 e x

E derivando, teremos:

u ' = 2 x + 2 x e x - x 2 e x '

u ' = d d x 2 x + d d x 2 x e x - d d x x 2 e x

Precisamos usar, em duas dessas derivadas, a regra do produto:

u ' = 2 + d d x 2 x e x + d d x e x 2 x - d d x x 2 e x + d d x e x x 2

u ' = 2 + 2 e x + e x 2 x - 2 x e x + e x x 2

u ' = 2 + 2 e x + 2 x e x - 2 x e x - x 2 e x

u ' = 2 + 2 e x - x 2 e x

E o v vale:

v = 1 + e x 2

Agora o v ' :

v ' = d d x 1 + e x 2

A gente não sabe resolver ainda a equação dessa forma, então vamos abrir essa potência:

v ' = d d x 1 + 2 e x + e x e x

Dessa forma da pra resolver sem usar a regra da cadeia, que vai ser vista nos próximos capítulos:

v ' = d d x 1 + d d x 2 e x + d d x e x e x

v ' = 0 + 2 e x + d d x e x ⋅ e x + d d x e x ⋅ e x

v ' = 2 e x + e x ⋅ e x + e x ⋅ e x

v ' = 2 e x + 2 e 2 x

Substituindo esses dois valores na expressão:

f ' ' x = 2 + 2 e x - x 2 e x ⋅ 1 + e x 2 - 2 e x + 2 e 2 x ⋅ 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 4

Podemos tirar ( 1 + e x ) em evidência na parte de cima, para cortar com o que tem na parte de baixo:

f ' ' x = 2 + 2 e x - x 2 e x ⋅ 1 + e x 2 - 1 + e x 2 e x ⋅ 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 4

Simplificando:

f ' ' x = 2 + 2 e x - x 2 e x ⋅ 1 + e x - 2 e x ⋅ 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 3

Ai não tem muito o que simplificar, podemos deixar assim. E encontramos nossa resposta.

Resposta

f ' x = 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 2

f ' ' x = 2 + 2 e x - x 2 e x ⋅ 1 + e x - 2 e x ⋅ 2 x + 2 x e x - x 2 e x 1 + e x 3

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