Enunciado

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

f x = 6 x 2 - 8 x + 3

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a antiderivada da função dada. Para provarmos que estamos certos iremos derivar o resultado que encontrarmos.

Queremos achar as funções F ( x ) tais que F ' x = f ( x ) .

Para polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar temos que,

F x = x m ⇒ f x = m x m - 1

Passo 2

Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante. Aí fica assim:

f x = x m ⇒ F x = x m + 1 m + 1

Devemos também acrescentar uma constante C na antiderivada, pois existem infinitas antiderivadas para cada função, já que se derivarmos 2 x 2 + 1 e 2 x 2 + 3 , por exemplo, temos em ambos os casos 4 x , já que o valor que não depende de x vai zerar. Então:

f x = x m ⇒ F x = x m + 1 m + 1 + C

Passo 3

Agora aplicamos o método para o polinômio:

f x = 6 x 2 - 8 x + 3

⇒ F x = 6 x 2 + 1 2 + 1 - 8 x 1 + 1 1 + 1 + 3 x 0 + 1 0 + 1 + C

⇒ F x = 6 x 3 3 - 8 x 2 2 + 3 x 1 + C

⇒ F x = 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x + C

Passo 4

Derivando, podemos verificar o resultado:

F ' x = 2 3 x 2 - 4 2 x + 3

= 6 x 2 - 8 x + 3 = f ( x )

Então F ( x ) é de fato a antiderivada de f ( x ) .

Resposta

F x = 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x + C

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