Enunciado

Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de pés quadrados em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?

Passo 1

Yuri aqui meu nobre amigo e estarei te ajudar a resolver essa atividade.

Em problemas de otimização como esse, devemos tentar representar a quantidade que queremos minimizar ou maximizar em função de um só parâmetro (nesse caso, a altura dos retângulos, por exemplo), para então analisar essa função e encontrar os extremos. A imagem mostra a divisão da área:

Vamos então tentar representar o custo C da cerca em função da altura y .

Passo 2

Primeiro vamos eliminar a variável x , que é a largura de cada metade. Como a área é fixa em 1,5 milhões de pés quadrados, temos:

A = b ∙ h

1500000 = y ⋅ 2 x

⇒ x = 750000 y

Sendo x e y representados em pés. O comprimento total da cerca é 3 y + 4 x , então o custo da cerca pode ser representado por:

C = k ( 3 y + 4 x )

Se k por o preço por pé. Colocando só em função de y :

C ( y ) = k 3 y + 3000000 y

Passo 3

Agora temos o custo em função da altura y , e devemos encontrar o mínimo dessa função. Para encontrarmos os pontos de máximo ou de mínimo de uma função, devemos derivar a equação da função e igualar a derivada a zero.

Como y é uma distância, deve ser um número positivo, então vamos investigar a função para y no intervalo ( 0 , + ∞ ) . Podemos ter um ponto crítico se a derivada da função for zero ou não existir. Vamos derivar C ( y ) :

C ' y = k 3 - 3000000 y 2

Como essa função sempre existe para y > 0 , vamos investigar C ' y = 0 . Temos:

3 - 3000000 y 2 = 0

⇒ 3000000 y 2 = 3

⇒ y 2 = 1000000

⇒ y = 1000   p é s

Repare que y = - 1000 foi descartado pois y deve ser positivo. Agora devemos verificar se em y = 1000 temos um valor mínimo. Se y < 1000 , podemos ver que C ' ( y ) é negativo, então a função é decrescente. Se y > 1000 , C ' ( y ) é positivo e então a função é crescente. Como a função é decrescente antes e crescente depois de y = 1000 , temos aí um ponto mínimo.

Passo 4

Sabemos que y = 1000 é um ponto mínimo, mas agora devemos saber se é o mínimo absoluto. Como esse é o único ponto crítico, agora basta olhar a função nos extremos do intervalo. Devemos então olhar os casos em que y → 0 + e que y → + ∞ :

lim y → 0 + ⁡ k 3 y + 3000000 y = + ∞

lim y → + ∞ ⁡ k 3 y + 3000000 y = + ∞

Como a função vai a mais infinito nos extremos do intervalo e y = 1000 é o único ponto mínimo local, y = 1000 é o ponto mínimo absoluto. Vamos então calcular também o valor de x :

x = 750000 1000 = 750   p é s

Resposta

Altura de 1000 pés, largura de 1500 pés dividida ao meio.

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Se 100 x unidades de uma determinada mercadoria forem demandadas sendo p o preço por unidade, x 2 + p 2 = 36 . Ache rendimento total máximo absoluto.
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Ache a distância mais curta entre o ponto P ( 0,4 ) e o ponto na curva x 2 - y 2 = 16 , e ache o ponto na curva mais próximo de P .
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